OMC168(E)

点数: 700

Writer: natu_math

　不等辺三角形 $ABC$ の内接円を $\omega$ とし，$\omega$ と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします．$\omega$ 上に $D$ でない点 $G$ があり，$G$ における $\omega$ の接線 $l$ は直線 $BC$ に平行でした．直線 $AG$ と $\omega$ の交点のうち $G$ でない方を $X$ とします．また，直線 $EF$ と $l$ の交点を $P$，点 $A$ を通り直線 $EF$ に平行な直線と $l$ の交点を $Q$ とし，四角形 $APRQ$ が平行四辺形となるような点 $R$ をとります．いま， $$AB=7\sqrt{727}-2, \quad BC=2\sqrt{727}, \quad CA=7\sqrt{727}+2$$ であるとき，四角形 $AQRX$ の面積の $2$ 乗を求めてください．