OMC164(D) - 平方完成

　$a=P$ のときは，$b \neq P$ または $(b,c)=(P,P)$ が条件であるので $P(P-1)+1$ 個．

　$a \neq P$ のときを考える．このとき $$ax^2+bx+c \equiv a(x-\alpha)^2 + \beta \pmod P$$ となる $\alpha,\beta ~ (0 \leq \alpha,\beta \lt P)$ が一意に存在する．なぜなら，$(a,b)$ を決めると $$b \equiv -2a\alpha \pmod P$$ となる $\alpha$ が一意に存在し，$\beta$ を適当に $1$ つ選ぶことで $$a\alpha^2+\beta \equiv c \pmod P$$ とできるから(ともに逆元の存在より)．問題の条件を満たすのは $\beta = 0$ のときであるから，このときは $P(P-1)$ 個．

　よって $M = 2P^2 - 2P + 1$ と分かり，あとは公式解説と同様．