OMC162(F)

点数: 500

Writer: ojamesi1357

　$1$ から $1357$ までの整数のうちちょうど $1$ つが書かれた球が $1$ つずつあります．これら $1357$ 個の玉を，区別できる $35$ 個の箱 $X_1, X_2, \cdots , X_{35}$ に分配します．ここで，球が $1$ つも入らない箱が存在しても構いません．分配後において，箱 $X_i$ のスコア $S(X_i)$ を次のように定めます．ただし，$P(X_i)$ は箱 $X_i$ に入っている球に書かれた番号の積，$|X_i|$ は箱 $X_i$ に入っている球の数を表すものとします：

• 箱 $X_i$ に球が入っていないとき，$S(X_i) =1$
• 箱 $X_i$ に球が入っているとき，$S(X_i)=\dfrac{P(X_i)}{35^{|X_i|}}$

さらに，各分配についてそのスコアを $35$ 個の箱のスコアの合計 $\sum\limits_{i=1}^{35} S(X_i)$ として定めます．ありうる $35^{1357}$ 通りすべての分配に対して，分配のスコアを求めてそれらの総和をとると，これは既約分数として表せます．この既約分数の分母がもつ正の約数の個数を解答してください．