OMC160(F)

　$ABC$ の外接円の半径 $R=65$ を示す．
　$MO$ と $ABC$ の外接円の交点を $K(\neq M)$，$AON$ の外接円を $\omega$ とする．三角形 $IMK$ で，$A$ は $M$ から $IK$ に落とした垂足，$O$ は $MK$ の中点， $N$ は $MI$ の中点なので，$\omega$ は $IMK$ の九点円である．$IK$ の中点を $T$ とすると，$T$ は $\omega$ を通る．方べきの定理より，$$OI\times IX=AI\times IT$$なので，$IT=40$，$IK=2IT=80$．また方べきを使うと，$$AI\times IK=R^2-IO^2$$が成り立つので，$R=65$．