OMC152(F)

点数: 700

Writer: KumaTachiRen

　体積 $\pi$ の球に内接し，すべての面が合同である四面体 $ABCD$ があり，点 $D$ から平面 $ABC$ へ下ろした垂線の足を $P$ とすると，次が成り立ちました： $$PA:PB:PC=2:\sqrt{5}:\sqrt{6}$$ このとき，四面体 $ABCD$ の体積は整数 $p,q$ および正整数 $r,s$（ただし，$p,q,s$ は最大公約数が $1$ で， $r$ は平方因子をもたない）を用いて $$\sqrt{\dfrac{p+q\sqrt{r}}{s}}$$ と表されるので， $p+q+r+s$ の値を解答してください．