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OMC148

OMC148(F) - 三角関数

ユーザー解説 by HighSpeed

　∠AIO=90∘\angle AIO = 90^\circ および四角形 AXYPAXYP が長方形であることを利用して IY=PI=5x,XY=3x,IX=AI=4x IY = PI = 5x,\qquad XY = 3x,\qquad IX = AI = 4x とおけるところまでは公式解説と同じ．さらに IO=32 xIO = \dfrac32\,x より，△ABC\triangle ABC の外接円の半径が 732 x\dfrac{\sqrt{73}}2\,x であることも分かる．また x=59x = \dfrac59 は，公式解説の方べきに気が付けなくても，求めることはできる．

方べきを使わない方法

　QQ から IOIO に下した垂線の足を HH として，△IXY\triangle IXY と △QHI\triangle QHI の相似より 734 x2=OQ2=QH2+(HI+IO)2=(45 QI)2+(35 QI+32 x)2=QI2+95 x×QI+94 x2⟹  (QI+5x)(QI−165 x)=0∴1=PI−QI=5x−165 x=95 x  ⟹  x=59.\begin{aligned} &\frac{73}4\,x^2 = OQ^2 = QH^2 + (HI + IO)^2 = \left(\frac45\,QI\right)^2 + \left(\frac35\,QI + \frac32\,x\right)^2 = QI^2 + \frac95\,x\times QI + \frac94\,x^2\\ &\mathopen{}\Longrightarrow\;\left(QI + 5x\right)\left(QI - \frac{16}5\,x\right) = 0 \qquad\therefore 1 = PI - QI = 5x - \frac{16}5\, x = \frac95\, x\;\Longrightarrow\; x = \frac59. \end{aligned}

　そして BX=CX=IX  (=4x)BX = CX = IX\;(=4x) となることは有名事実で，α≔∠BXO=∠CXO,\alpha \coloneqq \angle BXO = \angle CXO,　β≔∠IXO\beta \coloneqq \angle IXO とすると cos⁡α=BX/2OX=473,cos⁡β=IXOX=873, \cos \alpha = \frac{BX/2}{OX} = \frac4{\sqrt{73}},\qquad \cos \beta = \frac{IX}{OX} = \frac8{\sqrt{73}}, IB2+IC2 ⁣ ⁣=〇〇(2×4xsin⁡α−β2)2+(2×4xsin⁡α+β2)2=半角64x2(1−cos⁡(α−β)2+1−cos⁡(α+β)2)=積和64x2(1−cos⁡αcos⁡β)=64×(59)2(1−473×873)=656005913. \begin{aligned} IB ^2 + IC^2\!\! &\stackrel{\phantom{〇〇}}{=} \left(2 \times 4x \sin\frac{\alpha - \beta}2\right)^2 + \left(2 \times 4x \sin\frac{\alpha + \beta}2\right)^2 \\ &\stackrel{\text{半角}}{=}64x^2\left(\frac{1-\cos(\alpha - \beta)}2 + \frac{1-\cos(\alpha + \beta)}2\right) \\ &\stackrel{\text{積和}}{=} 64x^2\left(1 - \cos \alpha \cos \beta\right) = 64 \times \left(\frac59\right)^2 \left(1 - \frac4{\sqrt{73}} \times \frac8{\sqrt{73}}\right) = \frac{65600}{5913}. \end{aligned} すなわち答えは 71513\bm{71513}．