OMC148(F)

　四角形 $AXYP$ は長方形であることに気をつければ， $$\sin \angle XIY=\sin \angle PYQ=\sin \angle PAQ$$ であるので，$IX=4x, IY=5x, XY=3x$ とおける．また，$\angle AIO=90^\circ$ であるから $AI=IX=4x$ である．従って，方べきの定理より $$QI=\dfrac{AI×IX}{IY}=\dfrac{16x}{5}$$ であるので， $$PI-QI=IY-QI=\dfrac{9x}{5}=1$$ がわかり，$x=\dfrac{5}{9}$ である． ここで，$$PX=AY=\sqrt{AX^2+XY^2}=\sqrt{73}x$$ である．また，$BC$ の中点を $M$ とすると，$P, O, M, X$ は同一直線上にあるから，$XI^2=XB^2=XM\times XP$ である．したがって，三角形 $XIM$ と $XPI$ は相似であるから，$$PI:IM=PX:IX=\sqrt{73}:4.$$ よって，$$IM=\dfrac{4}{\sqrt{73}}×5x=\dfrac{20x}{\sqrt{73}}$$ が得られる．また，$$XM=\dfrac{XI^2}{XP}=\dfrac{16}{\sqrt{73}}x$$ である．したがって，$$BM^2=PM×MX=\dfrac{57x}{\sqrt{73}}×\dfrac{16x}{\sqrt{73}}=\dfrac{912x^2}{73}$$ であるから，中線定理より $$IB^2+IC^2=2(BM^2+IM^2)=\dfrac{2624}{73}x^2=\dfrac{2624}{73}×\dfrac{25}{81}=\dfrac{65600}{5913}$$ となる．よって解答すべき値は $\textbf{71513}$ である．