OMC146(B)

点数: 500

Writer: Hurdia

　$A_1$ から $A_{10}$ までの $10$ 人の選手が，次の要領で試合を行います．

• 一度の試合には $3$ 人が参加し，$1,2,3$ 位と重複なく順位が付く．
• $10$ 人の選手の実力は互いに対等で，各試合について $3$ 人の順位の組み合わせ $6$ 通りは均等に現れる．
• $1$ 回戦の第 $j$ 会場（$j=1,2,3$）では $A_{3j-2}$, $A_{3j-1}$, $A_{3j}$ の $3$ 選手が対戦し，$A_{10}$ は待機する．
• $n$ 回戦の結果に応じて，$n+1$ 回戦の割り振りを下図のように行う（$n\geq 1$）：

　$3$ 試合連続で $1$ 位となった選手が初めて現れたとき，その選手を優勝者として終了します（ルールにより，優勝者は存在すれば一意です）．遅くとも $N$ 回戦までに優勝者が $A_j$ に定まる確率を $P_{N,j}$ とし，その $N\to\infty$ での極限を $P_{j}$ と定めます．
　このとき，比 $P_{1}:P_{10}$ は互いに素な正整数 $s,t$ を用いて $s:t$ と表されるので，$s+t$ を解答してください.