OMC140(F)

こういう問題は直交座標で考えるといいです．
$A(0,x), B(-3,0), D(0,0), E(3,0), C(7,0)$ とします．
対称性より，$x\gt0$ としてよいです．
一般に，$A(0,a), B(b,0), C(c,0)$ のときに垂心は $H\left(0,-\dfrac{bc}{a}\right)$ となることが知られているので， $H\left(0,\dfrac{21}{x}\right)$ となります．
また，重心は $G\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{x}{3}\right)$ となります．
$G,H,E$ が同一直線上にあることから $x=\sqrt{35}$ とわかり，$ABC$ の面積は $\mathbf{5\sqrt{35}}$ とわかります．