OMC133(F)

私がコンテスト本番にした解法です. 補助点は使っていません.

まず，有名構図より，$DE$ は直径. 三角形 $ABC$ の内接円と $AB, AC$ の接点を $X, Y$ とすると，三角形 $AXY$ と $MCB$，$EYX$ と $IBC$ はそれぞれ相似であるから，三角形 $YEA$ と $BIM$ は相似であり，よって三角形 $YEA$ と $EIF$ は相似. 以下，簡単な角度計算から $\angle EAY=\angle IFE=90-3x, \angle EYA=\angle IEF=x$ とおけ，$I$ は $DE$ の中点であることから $\tan x:\tan 90-2x=1:2$ が導け，したがって加法定理から $\tan x=1/\sqrt 5$ となる. さらに，以下方べきの定理などから計算することで $AY=4a, IY=\sqrt 5a, DF=2a$ と表せる. ここで Ptolemy の定理から $(AC-AB)MB=AM×BC$ であり，$MB:BC=\sqrt{21}:\sqrt{20}$ なので，$2\sqrt{21}x=\sqrt{20}$ であり，よって $x=\sqrt{\dfrac{5}{21}}$. したがって，$IY^2=5x^2=\dfrac{25}{21}$ となり，解答すべき値は $\textbf{525}$ である.