OMC133(F)

　線分 $DE$ が $\omega$ の直径をなすこと，$4$ 点 $C , F , I , E$ の共円は公式解説と同様．

　$I(0) , E(1) , D(-1) , C(-1+ri)$ となる複素座標を考える（ただし $r$ は正の実数）．このとき方べきの定理より $DC\cdot DF=DI\cdot DE$ であるから $DF=\dfrac{2}{r}$ となり，$F$ の座標は $\biggl( -1+\dfrac{2}{r}i \biggr)$，これと $BD=CF$ より $B\biggl( -1-\biggl(r-\dfrac{2}{r}\biggr)i \biggr)$ となる．

　三角形 $BIM$ と三角形 $EIF$ は同じ向きに相似であるが，これを複素座標を用いて解釈すると， $$\dfrac{(Bの座標)-(Iの座標)}{(Mの座標)-(Iの座標)}=\dfrac{(Eの座標)-(Iの座標)}{(Fの座標)-(Iの座標)}$$ となる．この式に今回の座標を代入して計算することで， $M$ の座標は $$\biggl( -1-\biggl(r-\dfrac{2}{r}\biggr)i \biggr)\cdot \biggl( -1+\dfrac{2}{r}i \biggr)=\biggl(3-\dfrac{4}{r^2}\biggr)+ \biggl(r-\dfrac{4}{r}\biggr)i$$ となる．

　一方，$M$ の定義より $BM=CM$ であるから，$M$は線分 $BC$ の垂直二等分線上にあり，したがって $M$ の座標の虚部は $\dfrac{1}{r}$ となる．これらより $r-\dfrac{4}{r}=\dfrac{1}{r}$ となり， $r=\sqrt{5}$ となる．

　あとは全体に $\sqrt{5}$ 倍の相似拡大を行って $BD=3 , DC=5 , ID=\sqrt{5}$ のときに $AM$ の値を計算すればよく，これは（手間はかかるが）あまり難しくない．