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OMC109 (SEG杯)

OMC109(D)

ユーザー解説 by tria

あまり知られていないと思うので Ceva の定理の同値な形を紹介します．

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Ceva の定理の系

三角形 ABCABC の辺 BC,CA,ABBC,CA,AB 上にそれぞれ点X,Y,ZX,Y,Zがあるとき，
AX,BY,CZAX,BY,CZ が 11 点で交わることと sin⁡∠BAXsin⁡∠CBYsin⁡∠ACZsin⁡∠CAXsin⁡∠ABYsin⁡∠BCZ=1\dfrac{\sin\angle BAX\sin\angle CBY\sin\angle ACZ}{\sin\angle CAX\sin\angle ABY\sin\angle BCZ}=1 は同値である．
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(証明)
三角形 PQRPQR の面積を ∣△PQR∣|\triangle PQR| で表します．
BXCX=∣△ABX∣∣△ACX∣=12AB⋅AX⋅sin⁡∠BAX12AC⋅AX⋅sin⁡∠CAX=ABAC⋅sin⁡∠BAXsin⁡∠CAX\dfrac{BX}{CX}=\dfrac{|\triangle ABX|}{|\triangle ACX|}=\dfrac{\frac{1}{2}AB\cdot AX\cdot\sin\angle BAX}{\frac{1}{2}AC\cdot AX\cdot\sin\angle CAX}=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{\sin\angle BAX}{\sin\angle CAX} となります．
同様に，
CYYA=BCBA⋅sin⁡∠CBYsin⁡∠ABY\dfrac{CY}{YA}=\dfrac{BC}{BA}\cdot\dfrac{\sin\angle CBY}{\sin\angle ABY}
AZZB=CACB⋅sin⁡∠ACZsin⁡∠BCZ\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{CA}{CB}\cdot\dfrac{\sin\angle ACZ}{\sin\angle BCZ}
が成り立つので，これらを掛け合わせることで
BXCXCYAYAZBZ=sin⁡∠BAXsin⁡∠CBYsin⁡∠ACZsin⁡∠CAXsin⁡∠ABYsin⁡∠BCZ\dfrac{BX}{CX}\dfrac{CY}{AY}\dfrac{AZ}{BZ}=\dfrac{\sin\angle BAX\sin\angle CBY\sin\angle ACZ}{\sin\angle CAX\sin\angle ABY\sin\angle BCZ}
となるので，よく知られた Ceva の定理からこの系が真であることがわかります．
(証明終)

∠PAB=θ\angle PAB=\theta とします． 上の系を用いると，AP,BP,CPAP,BP,CP が 11 点で交わっていることから
sin⁡θsin⁡2θsin⁡3θsin⁡(60∘−θ)sin⁡(60∘−2θ)sin⁡(60∘−3θ)=1\dfrac{\sin\theta\sin2\theta\sin3\theta}{\sin(60^\circ-\theta)\sin(60^\circ-2\theta)\sin(60^\circ-3\theta)}=1
となります．0∘<θ<20∘0^\circ\lt\theta\lt20^\circ において分子は単調増加，分母は単調減少となるので，この式をみたす θ\theta は高々 11 個です．
また，θ=15∘\theta=15^\circ はこの式をみたすので， ∠PAB=15∘\angle PAB=15^\circ がわかります．

あとは公式解説と同じように計算すると答えが求まります．