OMC082(F)

複素座標を使った解法を書いておきます．(長くなったので計算の部分だけ読みたい人は後半から読んでください)

well-known fact として以下が成り立ちます．

$3$点$A(a^2),B(b^2),C(c^2)$が単位円上にあるとき重心$G$，内心$I$，垂心$H$について

• $G$の複素座標は$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
• $H$の複素座標は$a^2+b^2+c^2$
• $I$の複素座標は$-ab-bc-ca$

($a,b,c$の符号は適切に定めるとする)

これを使うと問題の条件から
$\dfrac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)=-ab-bc-ca$
となり，ここからこの2次方程式を解いてもいいのですが(その場合は$AB=AC$の条件を$a^2=bc$と直して計算を進めます)，$AB=AC$から$A,O,G,I,H$はどれも$BC$の垂直二等分線上にあることがわかり，$A$を実軸上に取るとこれらは全て実軸上にあることになり実部だけを見ればいいことがわかります．
ここで，外接円の半径は$1$であり，$OI$の長さがわかれば Chapple-Euler の定理から内接円の半径がわかるということも頭に入れておきます．

次のように座標をおきます．
$a=1,b=-\cos\theta-i\sin\theta,c=-\cos\theta+i\sin\theta$
$I$の内心の座標のところで$a,b,c$の座標を適切に定める必要があると言っていたように，その辺りを考慮すると $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ となります．

$\$

ここまでが前置きでここから計算のパートに入ります．

$\Re\left(\dfrac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)\right)=\dfrac{2}{3}(2\cos2\theta+1)$ $\Re(-ab-bc-ca)=2\cos\theta-1$

これらが等しいので $2$次方程式を解くと $\cos\theta=\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}$ となり，$\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ のときは $ABC$ が正三角形になってしまうので $\cos\theta=\dfrac{1}{4}$ となります．

これより$I$の座標は $-\dfrac{1}{2}$ となり， Chapple-Euler の定理から $\sqrt{R^2-2Rr}=OI=\dfrac{1}{2}$ となり，$r=\dfrac{3}{8}$ がわかるので答えは $11$ です．