OMC082(F)

$\angle OBI=\angle IBH$ より $$OB:HB=OI:HI=2:1.$$ したがって $OB=2, HB=1$ とおける. $AC$ の中点を $M$ とすると，$BH=2OM$ であり，したがって $OM=\dfrac{1}{2}$. よって $$AC=2AM=2\sqrt{AO^2-OM^2}=\sqrt{15}$$ である. ここで，$BC$ の中点を $N$ とすると，$\angle OMC=\angle ONC=90^{\circ}$ より $O, M, C, N$ は共円. よって，$AO×AN=AM×AC$ だから，$AN=\dfrac{15}{4}$. ところで，$\angle HBN=\angle OAM$ より，三角形 $HBN$ と $OAM$ は相似だから，$$HN=HB×\dfrac{OM}{AO}=\dfrac{1}{4}.$$ ここで，$IH=\dfrac{OH}{3}=\dfrac{1}{2}$ だから，$IN=\dfrac{3}{4}$ なので，求める比は $OB:IN=2:\dfrac{3}{4}=8:3$. 解答すべき値は $\textbf{11}$ である.