OMC082(F)

　一般に $OG:GH=1:2$ であることから $OG=GI$ が成立する. $BC$ の中点 $M$ について $BM=MC=1$ としてよく, $AB=AC=a(\neq 2),AM=h$ とおくと以下の成立がわかる： $$AG=\frac{2}{3}h,\quad AI=h - \frac{2|\triangle ABC|}{AB + BC + CA} = h - \frac{2h}{2a+2} = \frac{ah}{a+1} = \frac{a(a-1)}{h}$$ また, $AO = BO$ に気をつければ $$AO^2 = BO^2 = (h - AO)^2 + 1^2$$ より $AO = \dfrac{h^2 + 1}{2h} = \dfrac{a^2}{2h}$ を得る. 以上を $AO+AI=2AG$ に代入し, $h^2 = a^2 - 1$ を用いて整理することで $(a,h)=(4,\sqrt{15})$ を得る. このとき外接円半径は $AO=8/\sqrt{15}$, 内接円半径は $h-AI=3/\sqrt{15}$ であるから, 求める値は $8+3=\textbf{11}$ である.

　なお, Eulerの定理を用いてもよい. 具体的には, $$2:1=AG:GM=\dfrac{OI}{2}+R:\dfrac{OI}{2}+r$$ より得られる $OI=2R-4r$ を $OI^2=R^2-2Rr$ に代入することで, $R/r$ の二次方程式を得る.