OMC079(F)

　何名かの方がこの方法で解いているように厳密性を欠けば微分を使う方法が有効です．
　以下の解説は厳密なものではありません．

　数列 $\{a_n\}$ を $f(n)=a_{n+1}$ をみたすように非負実数から実数への関数 $f$ に対応させる． このとき，$f$ の差分を微分としてとらえることで微分方程式 $$f^\prime(x)=\frac1{f(x)^3}$$ がたつ．これを解くと，$C$ を非負実数の定数とし $$f(x)=\sqrt[4]{4x+C}$$ が分かる．$f(0)=10000$ の条件より $$f(x)=\sqrt[4]{4x+10000^4}$$ となる．単調性から求めるべきは $f(n)\gt10001$ なる最小の非負整数 $n$ であることに留意すれば， $$\sqrt[4]{4n+10000^4}\gt10001\iff n\gt\frac14 (10001^4-10000^4)=1000150010000.25$$ より，求めるべき $n$ は $\mathbf{10001500100001}$ となる．