OMC074(D)

　三角形 $AXY$ と三角形 $XYZ$ の外接円半径が等しいことから， $\angle XAZ=\angle XZA$ となることと， $\angle ABX=\angle ACX=90^\circ$ から $AX$ が三角形 $ABC$ の外接円の直径となることから， $XZ=XA=48$ となる．
　角を追うと，三角形 $ABC$ と三角形 $XYZ$ は相似であり，相似比は外接円半径の比に一致するので $24:25$ である．よって， $XA:AC=XZ:AC=25:24$ であり，三角形 $ACX$ は三辺比が $7:24:25$ の直角三角形．
また， $AZ$ と $XB$ の交点を $P$ とし， $AZ$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $Q$ とすると，角を追うことで三角形 $ABP$ と三角形 $XQP$ は合同であり，この二つの三角形は三角形 $ACX$ と相似であるとわかる．
　そこで，三角形 $ABP$ と三角形 $XQP$ の三辺の長さを $7k,24k,25k$ とおくと，三角形 $AXQ$ で三平方の定理より， $AX=40k=48$ から $k=\dfrac{6}{5}$ となる．
　よって， $BC=\dfrac{24}{25}PZ=\dfrac{24}{25}(PQ+QZ)=\dfrac{24}{25}\cdot39k=\dfrac{5616}{125}$ より，解答すべき値は $\textbf{5741}$