OMC074(D)

　$AX$ は円 $ABC$ の直径である. また, $AYX$ と $XYZ$ の外接円半径が等しいことから $\angle XAY=\angle XZY$ が成立し (これらがともに鋭角であることに留意せよ), 特に $AX=XZ$ および $AY=XY$ が成立することがわかる.
　 三角形 $AXY$ の垂心を $H$ とし, 三角形 $ABC,AHX$ の外心をそれぞれ $O_1,O_2$ とすると, 有名事実として三角形 $AHX$ と $AXY$ の外接円半径が等しいことから $AO_2=HO_2=25$ である. したがって, $$O_1O_2=\sqrt{AO_2^2-AO_1^2}=7,\quad AH=HX=\sqrt{(O_1O_2+HO_2)^{2} +AO_{1}^{2}} =40$$ またEuler線の議論より $HY=2O_1O_2=14$ である.
　ここで $AY$ と $HX$ の交点を $P$ とすれば, 三角形 $HYP$ と $HXO_1$ は相似であるから $$PY=O_1X\times\dfrac{HY}{HX}=\dfrac{42}{5}$$ 一方で三角形 $AHP$ と $AO_{2}O_{1}$ の相似より $$AP=AO_1\times\frac{AH}{AO_{2}} =\frac{192}{5}$$ したがって $YZ=PY+PZ=PY+AP=\dfrac{234}{5}$ である.
　ところで, 簡単な角度計算によって三角形 $ABC$ と $XYZ$ は相似であり, 外接円半径を考えればその相似比は $24:25$ である. したがって, $BC=YZ\times\dfrac{24}{25}=\dfrac{5616}{125}$ より, 解答すべき値は $\textbf{5741}$ である.
　なお, 実際には三角形 $AXY$ の外心は $AC$ 上にある. これを用いると, より簡潔に解くことが出来る.