OMC074(F)

　$\displaystyle f(x, y) = \frac{x}{xy+1}$ とすると, 任意の正の実数の組 $(p, q, r)$ に対して $$f(f(p, q), r) = f(p, q + r)$$ が成立する. よって, $S_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ と定めると, $x_{n+1}=f(x_{n},x_{n})$ から帰納的に $$S_{n + 1} - S_{n} = x_{n + 1} = f(x_1, x_1 + \cdots + x_n) = \frac{1}{S_n + \frac{5926}{3141}}$$ の成立が分かる. したがって, $\displaystyle a_n = \frac{S_n + \frac{5926}{3141}}{\sqrt n}$ とすると, 以下が成立する. $$a_{n+1} = \frac{na_n^2 + 1}{\sqrt{n^2 + n}\thinspace a_n}$$ 　ところで, $\displaystyle g_n(x) = \frac{nx^2 + 1}{\sqrt{n^2 + n}\thinspace x}$ とするとき, $g_n(x)$ が $x\ge1$ で単調増加であることは容易に確かめられる. したがって, 方程式 $x = g_n(x)$ の唯一の正の実数解を $x=b_n$とすれば, $a_1 \gt b_1$ から帰納的に $a_n\gt b_n$ が従う. また, $x\gt b_n$ において $g_n(x)\lt x$ であることから $\lbrace a_n\rbrace$ は単調減少する. ここで

$$b_n=\sqrt{\sqrt{1 + 1/n} +1}\gt 1$$ であり, これは単調減少で $\sqrt{2}$ に収束するから, 以上より $\lbrace a_n\rbrace$ は $\sqrt2$ 以上 $a_1$ 以下のある実数値に収束し, $$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{S_{5358n}}{S_n} &= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{5358n}\thinspace a_{5358n} - \frac{5926}{3141}} {\sqrt{n}\thinspace a_{n} - \frac{5926}{3141}}\\ &= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{5358}\thinspace a_{5358n} - \frac{5926}{3141\sqrt n}}{a_{n} - \frac{5926}{3141\sqrt n}}\\ &= \sqrt{5358} \end{aligned}$$ よって, $P(x)$ は $\sqrt{5358}-1$ の最小多項式 $x^2 +2x - 5357$ であるから, 求める値は $\bf{100014643}$ である.