OMC071(E) - この問題の一般化とオイラーの不等式の証明

　ここでは，この問題の一般化を考えてみましょう．

　鋭角三角形 $ABC$ に対し，内心を $I$ として三角形 $IBC,ICA,IAB$ の外心をそれぞれ $X,Y,Z$ とすると，well-known factとしてこれらはすべて三角形 $ABC$ の外接円上にあります．三角形 $ABC$ の外心を $O,$ 外接円半径を $R$ とし，$BC=a,CA=b,AB=C$ とすれば，六角形 $AZBXCY$ の面積は四角形 $OBXC,OCYA,OAZB$ の面積の和であるから， $$\frac{aR}{2}+\frac{bR}{2}+\frac{cR}{2}$$ で求まりますね．$I$ を $YZ,ZX,XY$ で折り返したものが $A,B,C$ であることに注意すれば，六角形 $AZBXCY$ の面積は三角形 $XYZ$ の面積の $2$ 倍だとわかります $\cdots(*)$．よって，三角形 $XYZ$ の面積は $$\frac{(a+b+c)R}{4}$$ と分かりました．

　これは，三角形 $ABC$ の面積は三角形 $ABC$ の内接円半径を $r$ とすれば $$\frac{(a+b+c)r}{2}$$ となるという事実に似た式で綺麗ですね！ついでに， $$\frac{△XYZ}{△ABC}=\frac{R}{2r}$$ が成り立つこともわかります．これにて，この問題の一般化は完了です．

　さて，この問題では $(*)$ の事実がカギとなったわけですが，これに似た性質として思い出されるのが，三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすれば，$H$ を $BC,CA,AB$ で折り返した点を $D,E,F$ とすると，$D,E,F$ は三角形 $ABC$ の外接円上にあるというものです．
　これにより，六角形 $AFBDCE$ の面積は三角形 $ABC$ の面積の $2$ 倍であることもわかりますね．

　以上のことをまとめると， $$\frac{R}{2r}=\frac{△XYZ}{△ABC}=\frac{六角形AZBXCYの面積}{六角形AFBDCEの面積}$$ となるわけですが，$X,Y,Z$ は弧 $BC,CA,AB$ の中点なので $$△XBC\geq△DBC,\quad △YCA\geq△ECA,\quad △ZAB\geq△FAB$$ となることに注意すれば， $$(六角形AZBXCYの面積) \geq (六角形AFBDCEの面積)$$ であるから，$R\geq{2r}$ が成り立つことが示せました！

　これは，オイラーの不等式と呼ばれる有名な幾何不等式です．
　この問題の一般化からオイラーの不等式に行き着くなんて，びっくりですね！