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OMC068 (for beginners)

OMC068(F)

ユーザー解説 by tria

　図形の問題は苦手なので計算で解きます><

　θ=141.4∘\theta=141.4^\circとおきます．∠BAP=300∘−2θ,∠PCB=150∘−θ\angle BAP=300^\circ-2\theta,\angle PCB=150^\circ-\theta であるので，正弦定理より，
APPB=sin⁡(θ−120∘)sin⁡(300∘−2θ),CPPB=sin⁡30∘sin⁡(150∘−θ)\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{\sin(\theta-120^\circ)}{\sin(300^\circ-2\theta)},\quad \dfrac{CP}{PB}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin(150^\circ-\theta)} ここで ∠PAC=x\angle PAC=x とおくと APCP=sin⁡(2θ−180∘−x)sin⁡x\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{\sin(2\theta-180^\circ-x)}{\sin x} 一方，
APCP=sin⁡(θ−120∘)sin⁡(150∘−θ)sin⁡(300∘−2θ)sin⁡30∘=sin⁡(θ−120∘)cos⁡(150∘−θ)=sin⁡(θ−120∘)sin⁡(240∘−θ)=sin⁡(θ−120∘)sin⁡(θ−60∘)\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{\sin(\theta-120^\circ)\sin(150^\circ-\theta)}{\sin(300^\circ-2\theta)\sin30^\circ}=\dfrac{\sin(\theta-120^\circ)}{\cos(150^\circ-\theta)}=\dfrac{\sin(\theta-120^\circ)}{\sin(240^\circ-\theta)}=\dfrac{\sin(\theta-120^\circ)}{\sin(\theta-60^\circ)} であり，これは x=θ−60∘x=\theta-60^\circ のとき成り立ちます．
　図から xx は一意に定まるので x=θ−60∘=81.4∘x=\theta-60^\circ=81.4^\circ とわかり，答えは 412\textbf{412} です．