OMC068(F)

　半直線 $PA$ 上に $PC=PQ$ なる点 $Q$ をとると,三角形 $BCP$ と三角形 $BQP$ は合同であるから特に $BC=BQ$ であり, これと $∠CBQ = ∠CBP + ∠PBQ = 60^\circ$ より三角形 $BCQ$ は正三角形である．一方，$∠ABQ=∠AQB$ より $AB = AQ$ であるから，これらより三角形 $ABC$ と三角形 $AQC$ は合同, 特に $\angle ACB=30^\circ$ である．従って， $$\begin{aligned} ∠CAP &= \angle{BAC}-\angle{BAP} \\ &= (180^\circ-51.4^\circ-30^\circ)-(180^\circ-21.4^\circ-141.4^\circ) \\ &= 81.4^\circ = (407/5)^\circ \end{aligned}$$ 特に解答すべき値は $\textbf{412}$ である．