OMC059(F)

点数: 600

Writer: natu_math

　点 $O$ を中心とする半径 $r$ の円 $\Gamma$ およびその弦 $\ell$ があります. 互いに $T$ で外接する円 $\omega_1$ および $\omega_2$ は, 中心がともに $\Gamma$ の内部の $\ell$ に関して同じ側にあり, どちらも $\Gamma$ および $\ell$ の両方と接しています. このとき, $\omega_1,\omega_2$ と $\Gamma$ の接点をそれぞれ $S_1,S_2$ とすると, $\angle S_1OS_2=120^\circ$ が成り立ちました.
　さらに $T$ と $\ell$ の距離 $d$ について, $OT:d=7:10$ が成り立つとき, 正整数 $a,b,c$ が存在して $$r:d=(a+\sqrt{b}):c$$ と表されるので (ただし $b$ は $1$ より大きい平方数で割り切れない), $a+b+c$ を解答してください.