OMC059(F) - 計算での解法

　長さ追跡による解法です．
$w_{1} , w_{2}$ の中心をそれぞれ $O_{1} , O_{2}$ とし，半径をそれぞれ $r_{1} , r_{2}$ とする．また，$w_{1} , w_{2}$ と $l$ との接点をそれぞれ $U_{1} , U_{2}$ とする．
$O_{1}U_{1} = O_{1}T = r_{1} , O_{2}U_{2} = O_{2}T = r_{2}$ より，$d = \dfrac{2r_{1}r_{2}}{r_{1} + r_{2}}$ が得られる．また，$\Gamma$ は $w_{1} , w_{2}$ にそれぞれ接している事から $O_{1}T = r - r_{1} , O_{2}T = r - r_{2}$ がわかるので，三角形 $OO_{1}O_{2}$ に注目して，Stewartの定理から

$$\begin{aligned} & OO_{1}^{2} \times O_{2}T + OO_{2}^{2} \times O_{1}T - O_{1}O_{2} (O_{1}T \times O_{2}T + OT^{2}) \\ & = (r - r_{1})^{2} \times r_{2} + (r - r_{2})^{2} \times r_{1} - (r_{1} + r_{2})\left(r_{1}r_{2} + \left(\dfrac{7r_{1}r_{2}}{5(r_{1}+r_{2})}\right)^{2}\right) \\ & = (r_{1} + r_{2}) (r^{2} - 2dr - \dfrac{49}{100} d^{2}) \\ & = 0 \end{aligned}$$

よって，$r_{1} + r_{2} \not = 0 , r \gt 0$ より，$r = \dfrac{10 + \sqrt{149}}{10} d$ なので，求める値は $\bf{169}$ である．