OMC055(D)

　一般に棒の長さが奇数 $n$ である場合を考え, 棒の左端を $O$, 右端を $O^\prime$ とする. $OA=a,AB=b$ として左側から節目 $A,B$ を選択したとき, これが条件をみたすことは以下のように表現できる： $$a\leq\dfrac{n-1}{2},\quad b\leq\dfrac{n-1}{2},\quad a+b\geq\dfrac{n+1}{2}$$ 　ここで $a$ を固定すれば, $b$ としてあり得るものは $\dfrac{n+1}{2}-a$ 以上 $\dfrac{n-1}{2}$ まで $a$ 個であるから, 求める場合の数は $$1+2+\cdots+\dfrac{n-1}{2}= \frac{(n-1)(n+1)}{8}$$ 特に $n=2021$ のとき, これは $\textbf{510555}$ である.