OMC051(D)

点数: 500

Writer: rusa

　二つの集合 $A, B$ に対し $A, B$ のちょうど一方のみに含まれる要素全体の集合を $A \Delta B$ で表します. 厳密には $$A\Delta B=(A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B)$$ です. このとき, それぞれ正整数からなる有限集合 $S_1,S_2,\cdots$ が, 任意の整数 $i\geq 2$ に対し以下をみたしました：

• $i$ のすべての正の約数を $d_1\lt d_2\lt \cdots\lt d_n$ とすれば, $(\cdots((S_{d_1} \Delta S_{d_2}) \Delta S_{d_3})\cdots \Delta S_{d_n}) = \{i\}$.

ただし $S_1=\{1\}$ とします. このとき, $S_{2021^{2021}}$ としてあり得るものについて, 以下の値の総和を求めて下さい：

• すべての元の総和について, それを素因数分解した時の「素因数と指数の積」の総和

例えばあり得る集合が $\{10,30\}$ および $\{25,50\}$ ならば, $(2 \times 3 + 5) + (3 + 5 \times 2) = 24$ を解答してください.