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OMC051 (Wolfram Cup)

OMC051(D) - 式変形で集合を直接求める

ユーザー解説 by shoko_math

　Δ\Delta は複数の集合に対してちょうど奇数個に属する元からなる集合を返し，特に、交換法則および結合法則を満たす．
　以下，正の整数 ii に対し，ii のすべての正の約数を d1<d2<⋯<dnd_1\lt d_2\lt\cdots\lt d_n とし，Sd1ΔSd2Δ⋯ΔSdnS_{d_1}\Delta S_{d_2}\Delta\cdots\Delta S_{d_n} を TiT_i とおく．
　では，相異なる素数 p,qp,q および非負整数 a,ba,b に対し、SpaqbS_{p^aq^b} を求めよう．
Tpaqb={paqb}T_{p^aq^b}=\{ p^aq^b \} より，TpaqbΔTpa−1qb−1={paqb}ΔTpa−1qb−1T_{p^aq^b}\Delta T_{p^{a-1}q^{b-1}}=\{ p^aq^b \}\Delta T_{p^{a-1}q^{b-1}} なので，Tpa−1qbΔTpaqb−1ΔSpaqb={paqb}ΔTpa−1qb−1T_{p^{a-1}q^b}\Delta T_{p^aq^{b-1}}\Delta S_{p^aq^b}=\{ p^aq^b \}\Delta T_{p^{a-1}q^{b-1}} となる．
よって，Ti={i}T_{i}=\{i\} より，{pa−1qb}Δ{paqb−1}ΔSpaqb={paqb}Δ{pa−1qb−1}\{p^{a-1}q^b\}\Delta \{p^aq^{b-1}\}\Delta S_{p^aq^b}=\{ p^aq^b \}\Delta \{p^{a-1}q^{b-1}\} となるので，Δ\Delta は複数の集合に対してちょうど奇数個に属する元からなる集合を返すことに注意して，Spaqb={paqb,pa−1qb,paqb−1,pa−1qb−1}S_{p^aq^b}=\{p^aq^b,p^{a-1}q^b,p^aq^{b-1},p^{a-1}q^{b-1}\}
　よって， S20212021={432021472021,432020472021,432021472020,432020472020}S_{2021^{2021}}=\{43^{2021}47^{2021},43^{2020}47^{2021},43^{2021}47^{2020},43^{2020}47^{2020}\} となり，特に，解答すべき数値は 181826\textbf{181826} ．