OMC046(F)

$\angle A=60^{\circ}$ 以降についての議論です. 元の解説はかなり計算量が重めですが，三角形 $IBC$ の面積に注目すると計算量が軽くなります.

$AI=x$ とすると, 三角形 $ABC$ の内接円の半径は $x/2$ と表せ, $BC=18$ だから三角形 $IBC$ の面積は $\dfrac{9x}{2}$ と表せる. ここで, $$|IBC|=IB×IC×\dfrac{\sqrt 3}{4}$$ から, $IB×IC=6\sqrt 3x$ と導ける. また, 余弦定理から $IB^2+IB×IC+IC^2=324$ であり, $2$ 式の和をとることで $$IB+IC=\sqrt{324+6\sqrt 3x}$$ と表せる. ここで $ID=IE=2\sqrt 3$ から, $$|IDB|+|IEC|=(IB+IC)×2\sqrt 3×\dfrac{\sqrt 3}{4}=\dfrac{3}{2}\sqrt{324+6\sqrt 3x}$$ となる. ここで $I$ から $AB, AC$ に下ろした垂線の足を $P, Q$ とすると, $\angle ADP=\angle AEQ$ なので, $|IDP|=|IEQ|$ だから, $|IDB|+|IEC|=|IBC|$ が導ける. したがって, $$\dfrac{9x}{2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{324+6\sqrt 3x}$$ より $x=\dfrac{1+\sqrt{109}}{\sqrt 3}$ となり, よって $$AB+AC=\sqrt 3x+18=1+\sqrt{109}+18=19+\sqrt{109}$$ であるから, 解答すべき値は $\textbf{128}$ である.