OMC044(E)

点数: 600

Writer: dama_math

　$BC=16$ なる三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ 上に以下をみたす点 $P, Q$ をとりました. $$\cos\angle BAP=\cos\angle CAQ=\frac{8}{9}$$ このとき, 三角形 $ABP$ の外接円と三角形 $ACQ$ の外接円は, $A$ でない三角形 $ABC$ の内部の点 $R$ で交わり, $$AR=12,\quad BR=7$$ が成立しました. $AB$ の長さを求めてください. ただし, 求める値は正の整数 $a,b,c,d$ (ここで $b$ は平方因子を持たず, $a,c,d$ の最大公約数は $1$ ) を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}+c}{d}$ と表されるので, $a+b+c+d$ を解答してください.