OMC024(F)

点数: 800

Writer: maple116

　$AB=20,AC=21$ なる三角形 $ABC$ において, 内心を $I$ とし, 内接円と辺 $AB,AC$ の接点をそれぞれ $F,E$ とします. 直線 $AI$ 上の $I$ について $A$ と反対側に $AP=22$ なる点 $P$ をとり, 三角形 $ABP$ の外接円と直線 $BI$ の交点を $Q(\neq B)$, 三角形 $ACP$ の外接円と直線 $CI$ の交点を $R(\neq C)$ とします.
　直線 $BC,EF$ および三角形 $PQR$ のオイラー線が一点で交わるとき, $BC$ の長さを求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $x,y$ によって $\dfrac{x}{y}$ と表せるので, $x+y$ を解答して下さい.
　ここで, 三角形におけるオイラー線とは, その外心・重心・垂心をすべて通る直線です.