NF杯2024(N)

点数: 300

Writer: igma

　箱の中に $1$ 以上 $2024$ 以下の整数のうち $1$ つが書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつ，合計 $2024$ 枚入っています．箱の中から無作為にカードを $1$ 枚取り出し，書かれた整数を記録して箱の中に戻すという操作を考えます．正の整数 $n$ と $0$ 以上 $5$ 以下の整数 $i$ に対し，この操作を $n$ 回行ったときに記録された $n$ 個の整数の和 $S_n$ が $S_n\equiv i \pmod 6$ をみたす確率を $P(n,i)$ とします．このとき，

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\max_{0\leq i\leq 5}P(n,i)-\min_{0\leq i\leq 5}P(n,i)\right)$$

の値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\displaystyle \frac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ の値を解答してください．