NF杯2024(T)

点数: 500

Writer: UNOwen

　$5$ 点 $A,B,C,D,E$ がある球面 $\mu$ 上にあり，以下を満たしています．

• 直線 $AE$ は平面 $BCD$ と直交する
• $\angle BEC=\angle CED=\angle DEB=90°$

　三角形 $BCD$ の重心を $G$，直線 $AG$ と $\mu$ との交点のうち $A$ でない方を $F$，直線 $EF$ と平面 $BCD$ との交点を $P$，直線 $AP$ と $\mu$ との交点のうち $A$ でない方を $Q$，直線 $GQ$ と $\mu$ との交点のうち $Q$ でないものを $R$，線分 $ER$ の中点を $M$ とします．平面 $ABE$，平面 $BCD$，「直線 $ER$ を含み平面 $AER$ と直交する平面」の交点を $S$ とすると， $$AS=\sqrt5, \quad MS=\sqrt6, \quad AG:FG=50:73$$ が成り立ちました．このとき，多面体 $ABCDE$ の体積としてありうる値の総積は，平方因子をもたない正の整数 $b$ と互いに素な正の整数 $a,c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ の値を解答してください．