NF杯2024(N) - 複素数を用いた解法

　本解同様に $F_n, f_n$ を定めると，1の原始6乗根 $\zeta$ および $j=1,\dots, 5$ に対して

$$F_n(\zeta^j)=f_n(\zeta^j)=\sum_{i=0}^{5}P(n,i)\zeta^{ij}$$

が成り立つ．よって $q_{n,i}=2024^n(P(n,i)-\frac{1}{6})$ とすると，( $1+\zeta+\cdots+\zeta^5=0$ より)

$$\begin{cases} q_{n,5}\zeta^5+q_{n,4}\zeta^4+q_{n,3}\zeta^3+q_{n,2}\zeta^2+q_{n,1}\zeta\ +q_{n,0}=(\sqrt{-3})^n\\ q_{n,5}\zeta^4+q_{n,4}\zeta^2+q_{n,3}\hspace{3mm} +q_{n,2}\zeta^4+q_{n,1}\zeta^2+q_{n,0}=(-1)^n\\ q_{n,5}\zeta^3+q_{n,4}\hspace{3mm}+q_{n,3}\zeta^3 +q_{n,2}\hspace{3mm}+q_{n,1}\zeta^3+q_{n,0}=0\\ q_{n,5}\zeta^2+q_{n,4}\zeta^4+q_{n,3}\hspace{3mm} +q_{n,2}\zeta^2+q_{n,1}\zeta^4+q_{n,0}=(-1)^n\\ q_{n,5}\zeta\ +q_{n,4}\zeta^2+q_{n,3}\zeta^3+q_{n,2}\zeta^4+q_{n,1}\zeta^5+q_{n,0}=(-\sqrt{-3})^n \end{cases}$$

となる．$\sum_{i=0}^{5}q_{n,i}=0$ より，各 $i=0,\dots ,5$ に対して，$j$ 番目の式 $(j=1,\dots 5)$ にそれぞれ $\zeta^{-ij}$ を掛けて全て足し合わせると左辺は $6q_{n,i}$ となる．したがって，

$$q_{n,i}=\alpha_{n,i}+\beta_{n,i}\hspace{3mm} \left(\alpha_{n,i}=\frac{1}{3}{\rm Re}(\zeta^{-i}\sqrt{3}^n),\beta_{n,i}=\frac{1}{3}{\rm Re}(\zeta^{-2i}(-1)^n)\right)$$

を得る．ここで $|\beta_{n,i}-\beta_{n,j}|\leq |\zeta^{-2i}(-1)^n|+|\zeta^{-2j}(-1)^n|\leq 2$ かつ $\alpha_i\neq \alpha_j$ で $|\alpha_{n,i}-\alpha_{n,j}|\geq \frac{\sqrt{3}^n}{2}$ より，$n\geq 3$ に対して $\alpha_{n,i}\gt \alpha_{n,j}$ ならば $q_{n,i}\gt q_{n,j}$．$n=1,2$ に対しても同様のことが成り立っているので， $$\begin{aligned} \max_{0\leq i\leq 5}q_{n,i}=\left\{\begin{array}{lc} q_{n,0}&(n\equiv 0\mod 4)\\ q_{n,1}=q_{n,2}&(n\equiv 1\mod 4)\\ q_{n,3}&(n\equiv 2\mod 4)\\ q_{n,4}=q_{n,5}&(n\equiv 3\mod 4) \end{array}\right. , \hspace{5mm} \min_{0\leq i\leq 5}q_{n,i}=\left\{\begin{array}{lc} q_{n,3}&(n\equiv 0\mod 4)\\ q_{n,4}=q_{n,5}&(n\equiv 1\mod 4)\\ q_{n,0}&(n\equiv 2\mod 4)\\ q_{n,1}=q_{n,2}&(n\equiv 3\mod 4) \end{array}\right. \end{aligned}$$

が分かり，$n=2m$ （ $m$ は正整数）のとき $$\displaystyle \max_{0\leq i\leq 5}q_{n,i}-\min_{0\leq i\leq 5}q_{n,i}=\frac{2}{3}\left|{\rm Re}(\sqrt{3}i)^{2m}\right|=2\cdot 3^{m-1}$$

$n=2m-1$ のとき $$\displaystyle \max_{0\leq i\leq 5}q_{n,i}-\min_{0\leq i\leq 5}q_{n,i}=\frac{2}{3}\left|{\rm Re}(\zeta^{-1}(\sqrt{3}i)^{2m-1})\right|=3^{m-1}$$

が分かる．以下は本解同様に簡単な計算によって答えを得られる．