NF杯2024(H)

　$\Gamma$ の中心を $O$ とし，直線 $BF$ と直線 $DG$ の交点を $X$ とする．円周角の定理などから， $$\angle ADB=\angle ACB=\angle GCE=\angle GDE=\angle ADX$$ より，$2$ 点 $B, X$ は $\Gamma$ の直径 $AD$ について対称であり，$AX=AB=20$ がわかる．また，円周角の定理などから， $$\angle GAE=\angle FAE=\angle GBE=\angle CBX=\angle CAX=\angle GAX$$ および， $$\angle AEG = \angle ACD = \angle AXG$$ より $\triangle AEG\equiv \triangle AXG$ がわかる．したがって $AE=AX=AB=20$ となり，$\triangle ABE$ は二等辺三角形である．円周角の定理から $\triangle CDE$ も二等辺三角形である．また，$\triangle OCD$ は二等辺三角形なので $\triangle CDE\sim\triangle ODC$ であるから，$\Gamma$ の半径を $R$ とすれば， $$CD^2=OD\cdot ED=OD\cdot(AD-AE)=R(2R-20)$$ となる．一方で，三平方の定理から， $$CD^2=AD^2-AC^2=4R^2-576$$ でもあるから， $$R(2R-20)=4R^2-576$$ を得る．$R\gt 0$ を踏まえてこれを解くと $R = \sqrt{313}-5$ であり，特に解答すべき値は $\bold{318}$ である．