NF杯2023(A) - 確率で求める体積

　$xyz$ 空間内において， $x^2+y^2+z^2\leq1,x\geq0,y\geq0,z\geq0$ で表される立体を $D$ とし，$D$ のうち $x\leq y\leq z$ を満たす部分の立体を $E$ とする．
$D,E$ の体積をそれぞれ $V,W$ とすると，$V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{\pi}{6}$ である．
また，$\dfrac{W}{V}$ は領域 $D$ 内から無作為にとった点 $(x,y,z)$ が $x\leq y\leq z$ を満たす確率なので，それは $\dfrac{1}{3!}=\dfrac{1}{6}$ に等しい．
以上より，求める体積は $W=\dfrac{V}{6}=\dfrac{\pi}{36}$．