NF杯2023(A)

以下の重積分を求めればよい.

$$V=\iiint_D dxdydz$$ ただし領域$D$の定義は以下の通りである. $$D=\lbrace (x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2+z^2\leq 1,0\leq x\leq y\leq z\leq 1\rbrace$$

以下の変数変換をする.

$$x=r\sin{\theta}\cos{\phi},y=r\sin{\theta}\sin{\phi},z=r\cos{\theta}$$

このとき,ヤコビアンは$r^2\sin{\theta}$であるので,

$$dxdydz=r^2\sin{\theta} dr d\theta d\phi$$

である.

ここで,変数変換後のパラメータの取りうる値の範囲を計算する.

$\theta,\phi$の値にかかわらず$0\leq r\leq 1$である.

さらに,$\pi/4 \leq \phi\leq \pi/2$が成り立つ.

このときの$\theta$の取りうる値の範囲は$0\leq \tan{\theta}\leq 1/\sin{\phi}$

より,$0\leq \theta \leq \tan^{-1} (1/\sin{\phi})$

よって,

$$V=\int_{0}^{1} \int_{\pi/4 }^{\pi/2} \int_{0}^{\tan^{-1} (1/\sin{\phi})}r^2 \sin{\theta} d\theta d\phi dr$$

$$V=\int_{0}^{1}r^2 dr\cdot \int_{\pi/4 }^{\pi/2} \int_{0}^{\tan^{-1} (1/\sin{\phi})} \sin{\theta} d\theta d\phi$$

$$V=\dfrac{1}{3} \cdot \int_{\pi/4}^{\pi/2} \left[-\cos{\theta}\right]_{\theta=0}^{\theta=\tan^{-1} (1/\sin{\phi})} d\phi$$

$$V=\dfrac{1}{3} \cdot \int_{\pi/4}^{\pi/2} 1-\cos (\tan^{-1} (1/\sin{\phi})) d\phi$$

ここで,実数$t$について$\cos(\tan^{-1}(t))=\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}$が成り立つため,

$$V=\dfrac{1}{3} \cdot \int_{\pi/4}^{\pi/2} 1-\dfrac{1}{\sqrt{1+(1/\sin{\phi})^2}} d\phi$$

$$V=\dfrac{1}{3} \cdot \int_{\pi/4}^{\pi/2} 1-\dfrac{\sin{\phi}}{\sqrt{1+\sin^2{\phi}}} d\phi$$

$$V=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{3} \int_{\pi/4}^{\pi/2} \dfrac{\sin{\phi}}{\sqrt{2-\cos^2{\phi}}} d\phi$$

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3} \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \dfrac{1}{\sqrt{2-u^2}} du$$

(ただし$\cos{\phi}=u$と置換)

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3} \int_{0}^{1/2} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-2v^2}} dv$$

(ただし$u=\sqrt{2}v$と置換)

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3} \int_{0}^{1/2} \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2}} dv$$

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3} \left[\sin^{-1}(v)\right]_{0}^{1/2}$$

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3} (\sin^{-1}(1/2)-\sin^{-1}(0))$$

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\pi}{6}$$

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\pi}{18}=\dfrac{\pi}{36}$$

よって体積は$\dfrac{1}{36}\pi$と書けるので、解答するべき値は$1+36=37$である.