NF杯2023(A)

$$D(0,1,0), \quad E(1,0,0), \quad F(1,0,1), \quad G(1,1,0)$$ とすると，四面体 $OABC$，$OAFC$，$OEFC$，$OEGC$，$ODGC$，$ODBC$ は全て合同で，立方体 $OABD-EFCG$ を重複なく埋め尽くす．点 $O$ にはこれら $6$ つの四面体の対応する頂点が集まっているので，$O$ を中心とする半径 $1$ の球 $O$ との共通部分の体積はどれも等しい．一方，球 $O$ と立方体 $OABD-EFCG$ の共通部分の体積は，半径 $1$ の球 $O$ の体積の $8$ 分の $1$ なので，$\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{4}{3}\pi=\dfrac{1}{6}\pi$ である．よって，求める体積は，このさらに $6$ 分の $1$ だから，$\dfrac{1}{36}\pi$ である．従って，求める値は $1+36=\mathbf{37}$ ．