NF杯2023(D) - 点Xを明示的に変数設定する

本解法は, 公式解説と本質的には同じである.

点 $X$ は三角形 $ABC$ の内部にあるので, $x, y, z \in \mathbb{R}_{\gt 0} , (x+y+z=1)$ を用いて $$\overrightarrow{OX}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$$ と一意に表せる. $$\frac{AR}{RB}=\frac{y}{x}, \quad \frac{BP}{PC}=\frac{z}{y}, \quad \frac{CQ}{QA}=\frac{x}{z} \quad (\ast)$$ であるから, $$f(x,y,z)=\frac{A R}{R B}+2 d \cdot \frac{B P}{P C}+4 d^2 \cdot \frac{C Q}{Q A}=2d\left(\frac{y}{2dx}+\frac{z}{y}+\frac{2dx}{y}\right)$$ とおくと, これが最小になるための必要条件は, $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial z}=0 \quad (\ast\ast)$$ すなわち $2dx=y=z$ であり, このとき点 $X$ は三角形 $ABC$ の内心 $I$ と一致するので, $2da=b=c \ (\ast\ast\ast)$ を得る.

以降は公式解説を参照のこと.