NF杯2023(D)

　チェバの定理，および相加・相乗平均の不等式より $$\dfrac{AR}{RB} + 2d\cdot \dfrac{BP}{PC} + 4d^2\cdot \dfrac{CQ}{QA} \geq 6d$$ であり，等号が成立するのはある正の数 $k$ によって $$\dfrac{AR}{RB} = 4d^2k,\quad \dfrac{BP}{PC} = 2dk ,\quad \dfrac{CQ}{QA} = k$$ と表せるときである．このとき，再びチェバの定理より $4d^2k \cdot 2dk \cdot k = 1$ なので $k = 1/2d$． このとき $X$ は内心なのであったから，$X$ と各頂点を結んだ $3$ 直線はいずれも角の $2$ 等分線であり，辺の比を考えることで $$4d^2k = 2d = \dfrac{b}{a}, \quad 2dk = 1 = \dfrac{c}{b}, \quad k = \dfrac{1}{2d} = \dfrac{a}{c}$$ となる．よって $(a,b,c,d) = (a,2da,2da,d)$ となる．逆にこのように与えられる $a,b,c$ は三角不等式を満たしている．
　条件より $a+b+c = a(1+4d) = 30!$ である．よって $1+4d$ は，$30!$ の正の約数であって，$1$ より大きく $4$ で割って $1$ 余るものに対応するので，そのようなものの個数を $K$ とおく．求める組の個数は $K$ である．
　ルジャンドルの公式から，$30!$ の素因数分解は $$30! = 2^{26}\cdot 3^{14}\cdot5^{7}\cdot7^{4}\cdot11^{2}\cdot13^{2}\cdot17\cdot 19\cdot 23\cdot 29$$ となる．$N = \dfrac{30!}{2^{26}}$ とおき，$N$ の $4$ で割って $1$ 余る $1$ より大きい約数の個数を求めればよい．
　$N$ の任意の $4$ で割って $1$ 余る正の約数 $d$ に対し，$d$ が $23$ で割れるときは $\dfrac{d}{23}$ が $\dfrac{N}{23}$ の $4$ で割って $3$ 余る正の約数であり，$d$ が $23$ で割れないとき $d$ は $\dfrac{N}{23}$ の $4$ で割って $1$ 余る正の約数である．この対応で，$30!$ の任意の $4$ で割って $1$ 余る正の約数は，$\dfrac{N}{23}$ の正の約数と $1:1$ に対応する．以上より $$K = (14 + 1)(7 + 1)(4+1)(2+1)^2(1+1)^3 - 1= \mathbf{43199}.$$