浜松2024予選(G)

　三角形 $ABP, DCP$ の外接円と $BC$ との交点をそれぞれ $R(\neq B), S(\neq C)$ とする．$\angle BPA = \angle BCP = \angle SDP$ より $BP \parallel SD$ であるから，$\angle RAP = \angle RBP = \angle CSD = \angle CPD$ となる．よって $\angle BAR = \angle BAP - \angle RAP = (180^{\circ} - \angle BPC) - \angle CPD = \angle BPA = \angle BRA$ より $BR = BA = 23$．また，$\angle CDS = \angle CDP - \angle SDP = \angle BAP - \angle BAR = \angle RAP = \angle CSD$ より $CS = CD = 48$．さらに，$\angle PRS = \angle BAP = \angle CDP = \angle PSR$ より $PQ$ は二等辺三角形 $PRS$ の垂線となるから，$QR = QS = x$ とおける．$BQ:QC = (x + 23):(x + 48) = 25:39$ より $x = \dfrac{303}{14}$ となるから，$BC = 2x + 71 = \dfrac{800}{7}$．