浜松2024予選(G) - 内心を取る

　$AB$ と $CD$ の交点を $O$ とすると角度追跡で $\angle OBC=2 \angle BCP, \angle OCB=2 \angle CBP$ がわかる．
三角形 $OBC$ の内心を $I$ とすると，四角形 $BPCI$ は平行四辺形である．三角形 $OBC$ の内接円と $BC,CO,BO$ の接点をそれぞれ $X,Y,Z$ とすると $$OY=OZ,BX=BZ,CX=CY,BX:XC=CQ:QB=39:25$$ である．$BX=39x$ とおくと，$OA=OD$ より $39x+23=25x+48$ なので $x=\dfrac{25}{14}$ であるので，$BC=64x=\dfrac{800}{7}$