出題範囲

以下の記述は，高等学校学習指導要領（2018年告示・2022年4月施行）にのっとるものとする．
なお，有志コンテストについてはこの限りではない．

• 数学Ⅰは「数と式」「図形と計量」「二次関数」を範囲とし，「データの分析」は基本的に範囲外とする．
• 数学Ａはすべてを範囲とする．
• 数学Ⅱはすべてを範囲とする．
• 数学Ｂは「数列」のみを範囲とし，「統計的な推測」「数学と社会生活」は基本的に範囲外とする．
• 数学Ⅲは「極限」のみを範囲とし，「微分法」「積分法」は基本的に範囲外とする．
• 数学Ｃは「ベクトル」「複素数平面」を範囲とし，「平面上の曲線」「数学的な表現の工夫」は基本的に範囲外とする．
• 初等幾何・整数論・不等式・関数の扱い・離散数学などについては，より幅広い内容を範囲とすることがある．
• 以下で定義された用語・記法については無条件に使用を認め，質問対応も行わない．

用語・記法集

今後，拡充していきます．

• 特に断りが無ければ，数の表記は十進法で考えるものとする．

集合の記法など

• 単に組といったとき，順序付きであるものとする．すなわち，順序が異なるものも区別するものとする．
• 組は $(a,b,c,\ldots)$ などと $($ および $)$ で要素を囲んで表す．一方で，集合は $\lbrace a,b,c,\ldots\rbrace$ などと $\lbrace$ および $\rbrace$ で要素を囲んで表す．
• 集合 $A,B$ に対し，以下のように定める：
  • $a$ が $A$ の元である，すなわち $a$ が $A$ に属するとき，$a\in A$ で表す．
  • $B$ に属する元がすべて $A$ にも属するとき，$B$ は $A$ の部分集合であるといい，$B\subset A$ または $B\subseteq A$ で表す．
  • $A$ または $B$ の少なくとも一方に属する元からなる集合を $A$ と $B$ の和集合あるいは合併とよび，$A\cup B$ で表す．
  • $A$ および $B$ の双方に属する元からなる集合を $A$ と $B$ の共通部分あるいは交差（交叉）とよび，$A\cap B$ で表す．
  • $A$ に属するが $B$ に属さない元からなる集合を $A$ と $B$ の差集合とよび，$A\setminus B$ で表す．
    特に $B$ が $A$ の部分集合であるとき，$B$ の補集合ともよばれる．
  • $|A|$ あるいは $\# A$ で $A$ に含まれる元の数を表す．
• 実数 $a,b$ に対し，以下のように定める：
  • $a$ 以上 $b$ 以下のすべての実数からなる集合を $[a,b]$ で表す．この形式の集合を閉区間とよぶ．
  • $a$ より大きく $b$ 未満のすべての実数からなる集合を $(a,b)$ または $]a,b[$ で表す．この形式の集合を開区間とよぶ．
  • $a$ 以上 $b$ 未満のすべての実数からなる集合を $[a,b)$ または $[a,b[$ で表す．
  • $a$ より大きく $b$ 以下のすべての実数からなる集合を $(a,b]$ または $]a,b]$ で表す．
• $\displaystyle\sum_{i=a}^{b}(iの式)$ で $i=a,a+1,\ldots,b$ に対する $(iの式)$ の和を意味する．
  また，$\displaystyle\sum_{iの条件}(iの式)$ で，条件をみたす $i$ すべてに対する $(iの式)$ の和を意味する．
• $\displaystyle\prod_{i=a}^{b}(iの式)$ で $i=a,a+1,\ldots,b$ に対する $(iの式)$ の積を意味する．
  また，$\displaystyle\prod_{iの条件}(iの式)$ で，条件をみたす $i$ すべてに対する $(iの式)$ の積を意味する．
• 非負整数 $m,n$ に対し，相異なる $m$ 個のものから $n$ 個のものを選ぶ場合の数を ${}_{m}\mathrm{C}_{n}$ または $\binom{m}{n}$ で表す．
  ただし，$n=0$ のときは ${}_{m}\mathrm{C}_{n}=\binom{m}{n}=1$ とし，$m\lt n$ のときは ${}_{m}\mathrm{C}_{n}=\binom{m}{n}=0$ とする．
• $n$ 個の実数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ に対し，$\min\lbrace a_1,a_2,\ldots,a_n\rbrace$ や $\min(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ で $a_1,a_2,\ldots,a_n$ における最小の値を表す．
  また，実数からなる集合 $S$ に対して，$\min S$ で $S$ における最小の値を表す．
• $n$ 個の実数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ に対し，$\max\lbrace a_1,a_2,\ldots,a_n\rbrace$ や $\max(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ で $a_1,a_2,\ldots,a_n$ における最大の値を表す．
  また，実数からなる集合 $S$ に対して，$\max S$ で $S$ における最大の値を表す．

幾何

• ある円上にある $2$ 点 $A,B$ に対し，弧 $AB$ のうち短い方を劣弧 $AB$ とよび，長い方を優弧 $AB$ とよぶ．
  なお，$AB$ が直径をなす場合は，OMCではこの用語は用いないものとする．
• 三角形において，その $3$ 辺それぞれの垂直二等分線は $1$ 点で交わる．これを三角形の外心とよぶ． また，三角形において，その $3$ 頂点すべてを通る円が一意に存在する．これを三角形の外接円とよぶ． 外心は外接円の中心である．
• 三角形において，各頂点から対辺におろした $3$ 本の垂線は $1$ 点で交わる．これを三角形の垂心とよぶ．
• 三角形において，各頂点とそれぞれの対辺の中点を結ぶ $3$ 本の直線（中線）は $1$ 点で交わる．これを三角形の重心とよぶ．
• 一般に $n$ 個の点 $P_1,\ldots,P_n$ に対し，各座標の（相加）平均によって得られる点を，$P_1,\ldots,P_n$ の幾何中心とよぶ． $n=2$ のとき幾何中心は線分 $P_1P_2$ の中点に一致し，$n=3$ のとき幾何中心は三角形 $P_1P_2P_3$ の重心に一致する．
• （正三角形でない）三角形の外心・垂心・重心は同一直線上にある．これを三角形のオイラー線（Euler線）とよぶ．
• 三角形において，各辺の中点，各頂点から対辺におろした垂線の足，各頂点と垂心の中点は，すべて同一円周上にある． これを三角形の九点円とよぶ．
• 三角形において，その $3$ つの内角それぞれの二等分線は $1$ 点で交わる．これを三角形の内心とよぶ． また，三角形において，その $3$ 辺すべてに接する円が一意に存在する．これを三角形の内接円とよぶ． 内心は内接円の中心である．
• 三角形 $ABC$ において，角 $A$ の内角の二等分線と角 $B,C$ それぞれの外角の二等分線は $1$ 点で交わる．これを三角形 $ABC$ の角 $A$ 内の傍心とよぶ． また，三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ と辺 $AB,AC$ それぞれの延長線に接する円が一意に存在する．これを三角形 $ABC$ の角 $A$ 内の傍接円とよぶ． 角 $A$ 内の傍心は角 $A$ 内の傍接円の中心である．
• 三角形が退化しているとは，3つの頂点が同一直線上に並ぶことをさす．
  非退化な三角形とは，退化していない三角形，すなわち3つの頂点が同一直線上に並ばない三角形をさす．

整数

• 実数 $x$ に対し，$x$ 以下で最大の整数を $\lfloor x \rfloor$ または $[x]$ で表す．これを床記号またはガウス記号とよぶ．
• 実数 $x$ に対し，$x$ 以上で最小の整数を $\lceil x \rceil$ で表す．これを天井記号とよぶ．
• 整数 $a,b$ に対し，$a=bc$ なる整数 $c$ が存在するとき，$a$ は $b$ で割り切れる，逆に $b$ は $a$ を割り切るといい， $b\mid a$ で表す．また，$a$ を $b$ の倍数，$b$ を $a$ の約数とよぶ．
• 整数 $a,b$ および正整数 $m$ に対し，$a-b$ が $m$ で割り切れるとき，$a$ と $b$ は $m$ を法として合同であるといい，$a\equiv b\pmod{m}$ で表す．
• $n$ 個の整数 $a_1,\ldots,a_n$ に対し，これらをすべて割り切る整数を $a_1,\ldots,a_n$ の公約数とよぶ． 特にそのうち最大のものを $a_1,\ldots,a_n$ の最大公約数とよび，$\gcd(a_1,\ldots,a_n)$ で表す． ただし，$a_1,\ldots,a_n$ がすべて $0$ の場合は，OMCでは考えないものとする．
• $n$ 個の整数 $a_1,\ldots,a_n$ に対し，$\gcd(a_1,\ldots,a_n)=1$ であるとき，$a_1,\ldots,a_n$ は互いに素であるという．
  $n\geq 3$ であるとき，「どの $2$ つについても互いに素である（pairwise coprime）」とは意味が異なることに注意せよ．
• $n$ 個の $0$ でない整数 $a_1,\ldots,a_n$ に対し，これらですべて割り切れる整数を $a_1,\ldots,a_n$ の公倍数とよぶ． 特にそのうち正で最小のものを $a_1,\ldots,a_n$ の最小公倍数とよび，$\textrm{lcm}(a_1,\ldots,a_n)$ で表す．

数列の性質

• 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が，任意の $n$ に対し $a_n\leq a_{n+1}$ をみたすとき， $\lbrace a_n\rbrace$ は広義単調増加である，または単に単調増加であるという．
• 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が，任意の $n$ に対し $a_n\lt a_{n+1}$ をみたすとき， $\lbrace a_n\rbrace$ は狭義単調増加であるという．
• 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が，任意の $n$ に対し $a_n\geq a_{n+1}$ をみたすとき， $\lbrace a_n\rbrace$ は広義単調減少である，または単に単調減少であるという．
• 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が，任意の $n$ に対し $a_n\gt a_{n+1}$ をみたすとき， $\lbrace a_n\rbrace$ は狭義単調減少であるという．
• 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ について，ある実数 $K$ が存在し，任意の $n$ に対して $a_n\leq K$ が成り立つとき，$\lbrace a_n\rbrace$ は上に有界であるという．
• 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ について，ある実数 $K$ が存在し，任意の $n$ に対して $a_n\geq K$ が成り立つとき，$\lbrace a_n\rbrace$ は下に有界であるという．

数列の極限

• 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ と実数 $\alpha$ が以下をみたすとき，$\lbrace a_n\rbrace$ は $\alpha$ に収束する，または単に収束するという．
  • 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対し，ある正の整数 $N$ が存在して，任意の $N$ 以上の整数 $n$ について $|a_n-\alpha| \lt \varepsilon$ が成立する．
  $\lbrace a_n\rbrace$ に対してこのような $\alpha$ は存在すれば一意であるから，これを $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n = \alpha$ と書き， $\alpha$ を $\lbrace a_n\rbrace$ の極限または極限値とよぶ．
• 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ がいかなる値にも収束しないとき，$\lbrace a_n\rbrace$ は発散するという． 発散する数列は，さらに以下の $3$ 種類に大別される．
  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が以下をみたすとき，$\lbrace a_n\rbrace$ は正の無限大に発散するという．
    • 任意の実数 $K$ に対し，ある正の整数 $N$ が存在して，任意の $N$ 以上の整数 $n$ について $a_n\gt K$ が成立する．
  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が以下をみたすとき，$\lbrace a_n\rbrace$ は負の無限大に発散するという．
    • 任意の実数 $K$ に対し，ある正の整数 $N$ が存在して，任意の $N$ 以上の整数 $n$ について $a_n\lt K$ が成立する．
  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が正の無限大にも負の無限大にも発散しないとき，$\lbrace a_n\rbrace$ は振動するという．
• 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が（広義）単調増加かつ上に有界であるならば，$\lbrace a_n\rbrace$ は収束する． 同様に，実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が（広義）単調減少かつ下に有界であるならば，$\lbrace a_n\rbrace$ は収束する．

関数の性質

• 集合 $A$ の各元に対して集合 $B$ の元を対応付ける規則 $f$ を，$A$ から $B$ への関数または写像とよび， $A$ を $f$ の定義域，$B$ を $f$ の終域とよぶ． これを $f\colon A\to B$ で表し，$A$ の元 $a$ に対応する $B$ の元を $f(a)$ で表す．
• （一部の）実数に対して定義され実数値をとる関数 $f$ に対して，以下のように定める：
  • 任意の実数 $x\lt y$ に対し，$f(x)\leq f(y)$ をみたすとき，$f$ は広義単調増加である，または単に単調増加であるという．
  • 任意の実数 $x\lt y$ に対し，$f(x)\lt f(y)$ をみたすとき，$f$ は狭義単調増加であるという．
  • 任意の実数 $x\lt y$ に対し，$f(x)\geq f(y)$ をみたすとき，$f$ は広義単調減少である，または単に単調減少であるという．
  • 任意の実数 $x\lt y$ に対し，$f(x)\gt f(y)$ をみたすとき，$f$ は狭義単調減少であるという．

実関数の極限

• （一部の）実数に対して定義され実数値をとる関数 $f(x)$ と実数 $c,\alpha$ が以下をみたすとき，$f(x)$ は $x=c$ で $\alpha$ に収束するという．
  • 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対し，ある正の実数 $\delta$ が存在して，$0\lt|x-c|\lt\delta$ なる任意の実数 $x$ に対し $|f(x)-\alpha| \lt \varepsilon$ が成立する．
  $f(x)$ および $c$ に対してこのような $\alpha$ は存在すれば一意であるから，これを $\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x) = \alpha$ と書く．
• （一部の）実数に対して定義され実数値をとる関数 $f(x)$ と実数 $\alpha$ が以下をみたすとする．
  • 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対し，ある実数 $X$ が存在して，$x\gt X$ なる任意の実数 $x$ に対し $|f(x)-\alpha| \lt \varepsilon$ が成立する．
  $f(x)$ に対してこのような $\alpha$ は存在すれば一意であるから，これを $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = \alpha$ と書く．
• （一部の）実数に対して定義され実数値をとる関数 $f(x)$ と実数 $\alpha$ が以下をみたすとする．
  • 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対し，ある実数 $X$ が存在して，$x\lt X$ なる任意の実数 $x$ に対し $|f(x)-\alpha| \lt \varepsilon$ が成立する．
  $f(x)$ に対してこのような $\alpha$ は存在すれば一意であるから，これを $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) = \alpha$ と書く．
• 上記のそれぞれの設定について，いかなる $\alpha$ にも収束しないとき，発散するという．

多項式

• 単項式も多項式であるものとする．
• $x$ の多項式 $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0~(a_n\neq 0)$ について，以下のように定める：
  • $n$ を $P(x)$ の次数とよぶ．なお，$P(x)=0$ のとき次数は考えないものとする（$-\infty$ とされることもある）．
  • $a_0$ を $P(x)$ の定数項とよぶ．
  • $a_n$ を $P(x)$ の最高次（の）係数とよぶ．特に $a_n=1$ であるとき，$P(x)$ はモニックであるという．
  • $P(\alpha)=0$ をみたす値 $\alpha$ を $P(x)$ の根とよぶ．
• 複素数 $\alpha$ について，$\alpha$ を根にもつ有理数係数多項式が存在するとき，そのうち次数が最小であり，かつモニックであるものを， $\alpha$ の最小多項式とよぶ．$\alpha$ の最小多項式は，存在すれば一意である．

複素数

• 特に断りが無ければ，虚数単位は $i$ で表すものとする．
• 複素数 $z=a+bi$ に対し（$a,b$ は実数），以下のように定める：
  • $a$ を $z$ の実部とよび，$\mathrm{Re}~z$ または $\Re z$ で表す．また，$b$ を $z$ の虚部とよび，$\mathrm{Im}~z$ または $\Im z$ で表す．
  • $\sqrt{a^2+b^2}$ を $z$ の絶対値とよび，$|z|$ で表す．
  • $z\neq0$ のとき，複素数平面上において原点を $O$，$z$ に対応する点を $P$ として， 実軸の正方向とベクトル $\overrightarrow{OP}$ のなす角（反時計回りを正とする）を $z$ の偏角とよび，$\arg z$ で表す． 偏角には $2\pi$（$360^\circ$）の任意の整数倍の差だけ不定性があるが，OMCでこれを定める必要がある場合は問題文中で明記される． また，$0$ の偏角はOMCでは考えない．
• 虚部が $0$ でないような複素数を虚数とよぶ．さらに，実部が $0$ であるような虚数を純虚数とよぶ．
  なお，実部が $0$ である複素数を純虚数とする（すなわち，$0$ を純虚数とする）流儀も一般的である．OMCでは，この用語を用いるときにはかならず定義を述べるものとする．

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