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出題範囲

以下の記述は,高等学校学習指導要領(2018年告示・2022年4月施行)にのっとるものとする.
なお,有志コンテストについてはこの限りではない.

  • 数学Ⅰは「数と式」「図形と計量」「二次関数」を範囲とし,「データの分析」は基本的に範囲外とする.
  • 数学Aはすべてを範囲とする.
  • 数学Ⅱはすべてを範囲とする.
  • 数学Bは「数列」のみを範囲とし,「統計的な推測」「数学と社会生活」は基本的に範囲外とする.
  • 数学Ⅲは「極限」のみを範囲とし,「微分法」「積分法」は基本的に範囲外とする.
  • 数学Cは「ベクトル」「複素数平面」を範囲とし,「平面上の曲線」「数学的な表現の工夫」は基本的に範囲外とする.
  • 初等幾何・整数論・不等式・関数の扱い・離散数学などについては,より幅広い内容を範囲とすることがある.
  • 以下で定義された用語・記法については無条件に使用を認め,質問対応も行わない.

用語・記法集

今後,拡充していきます.

  • 特に断りが無ければ,数の表記は十進法で考えるものとする.

集合の記法など

  • 単にといったとき,順序付きであるものとする.すなわち,順序が異なるものも区別するものとする.
  • 組は $(a,b,c,\ldots)$ などと $($ および $)$ で要素を囲んで表す.一方で,集合は $\lbrace a,b,c,\ldots\rbrace$ などと $\lbrace$ および $\rbrace$ で要素を囲んで表す.
  • 集合 $A,B$ に対し,以下のように定める:
    • $a$ が $A$ のである,すなわち $a$ が $A$ に属するとき,$a\in A$ で表す.
    • $B$ に属する元がすべて $A$ にも属するとき,$B$ は $A$ の部分集合であるといい,$B\subset A$ または $B\subseteq A$ で表す.
    • $A$ または $B$ の少なくとも一方に属する元からなる集合を $A$ と $B$ の和集合あるいは合併とよび,$A\cup B$ で表す.
    • $A$ および $B$ の双方に属する元からなる集合を $A$ と $B$ の共通部分あるいは交差(交叉)とよび,$A\cap B$ で表す.
    • $A$ に属するが $B$ に属さない元からなる集合を $A$ と $B$ の差集合とよび,$A\setminus B$ で表す.
      特に $B$ が $A$ の部分集合であるとき,$B$ の補集合ともよばれる.
    • $|A|$ あるいは $\# A$ で $A$ に含まれる元の数を表す.
  • 実数 $a,b$ に対し,以下のように定める:
    • $a$ 以上 $b$ 以下のすべての実数からなる集合を $[a,b]$ で表す.この形式の集合を閉区間とよぶ.
    • $a$ より大きく $b$ 未満のすべての実数からなる集合を $(a,b)$ または $]a,b[$ で表す.この形式の集合を開区間とよぶ.
    • $a$ 以上 $b$ 未満のすべての実数からなる集合を $[a,b)$ または $[a,b[$ で表す.
    • $a$ より大きく $b$ 以下のすべての実数からなる集合を $(a,b]$ または $]a,b]$ で表す.
  • $\displaystyle\sum_{i=a}^{b}(iの式)$ で $i=a,a+1,\ldots,b$ に対する $(iの式)$ の和を意味する.
    また,$\displaystyle\sum_{iの条件}(iの式)$ で,条件をみたす $i$ すべてに対する $(iの式)$ の和を意味する.
  • $\displaystyle\prod_{i=a}^{b}(iの式)$ で $i=a,a+1,\ldots,b$ に対する $(iの式)$ の積を意味する.
    また,$\displaystyle\prod_{iの条件}(iの式)$ で,条件をみたす $i$ すべてに対する $(iの式)$ の積を意味する.
  • 非負整数 $m,n$ に対し,相異なる $m$ 個のものから $n$ 個のものを選ぶ場合の数を ${}_{m}\mathrm{C}_{n}$ または $\binom{m}{n}$ で表す.
    ただし,$n=0$ のときは ${}_{m}\mathrm{C}_{n}=\binom{m}{n}=1$ とし,$m\lt n$ のときは ${}_{m}\mathrm{C}_{n}=\binom{m}{n}=0$ とする.
  • $n$ 個の実数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ に対し,$\min\lbrace a_1,a_2,\ldots,a_n\rbrace$ や $\min(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ で $a_1,a_2,\ldots,a_n$ における最小の値を表す.
    また,実数からなる集合 $S$ に対して,$\min S$ で $S$ における最小の値を表す.
  • $n$ 個の実数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ に対し,$\max\lbrace a_1,a_2,\ldots,a_n\rbrace$ や $\max(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ で $a_1,a_2,\ldots,a_n$ における最大の値を表す.
    また,実数からなる集合 $S$ に対して,$\max S$ で $S$ における最大の値を表す.

幾何

  • ある円上にある $2$ 点 $A,B$ に対し,弧 $AB$ のうち短い方を劣弧 $AB$ とよび,長い方を優弧 $AB$ とよぶ.
    なお,$AB$ が直径をなす場合は,OMCではこの用語は用いないものとする.
  • 三角形において,その $3$ 辺それぞれの垂直二等分線は $1$ 点で交わる.これを三角形の外心とよぶ. また,三角形において,その $3$ 頂点すべてを通る円が一意に存在する.これを三角形の外接円とよぶ. 外心は外接円の中心である.
  • 三角形において,各頂点から対辺におろした $3$ 本の垂線は $1$ 点で交わる.これを三角形の垂心とよぶ.
  • 三角形において,各頂点とそれぞれの対辺の中点を結ぶ $3$ 本の直線(中線)は $1$ 点で交わる.これを三角形の重心とよぶ.
  • 一般に $n$ 個の点 $P_1,\ldots,P_n$ に対し,各座標の(相加)平均によって得られる点を,$P_1,\ldots,P_n$ の幾何中心とよぶ. $n=2$ のとき幾何中心は線分 $P_1P_2$ の中点に一致し,$n=3$ のとき幾何中心は三角形 $P_1P_2P_3$ の重心に一致する.
  • (正三角形でない)三角形の外心・垂心・重心は同一直線上にある.これを三角形のオイラー線(Euler線)とよぶ.
  • 三角形において,各辺の中点,各頂点から対辺におろした垂線の足,各頂点と垂心の中点は,すべて同一円周上にある. これを三角形の九点円とよぶ.
  • 三角形において,その $3$ つの内角それぞれの二等分線は $1$ 点で交わる.これを三角形の内心とよぶ. また,三角形において,その $3$ 辺すべてに接する円が一意に存在する.これを三角形の内接円とよぶ. 内心は内接円の中心である.
  • 三角形 $ABC$ において,角 $A$ の内角の二等分線と角 $B,C$ それぞれの外角の二等分線は $1$ 点で交わる.これを三角形 $ABC$ の角 $A$ 内の傍心とよぶ. また,三角形 $ABC$ において,辺 $BC$ と辺 $AB,AC$ それぞれの延長線に接する円が一意に存在する.これを三角形 $ABC$ の角 $A$ 内の傍接円とよぶ. 角 $A$ 内の傍心は角 $A$ 内の傍接円の中心である.
  • 三角形が退化しているとは,3つの頂点が同一直線上に並ぶことをさす.
    非退化な三角形とは,退化していない三角形,すなわち3つの頂点が同一直線上に並ばない三角形をさす.

整数

  • 実数 $x$ に対し,$x$ 以下で最大の整数を $\lfloor x \rfloor$ または $[x]$ で表す.これを床記号またはガウス記号とよぶ.
  • 実数 $x$ に対し,$x$ 以上で最小の整数を $\lceil x \rceil$ で表す.これを天井記号とよぶ.
  • 整数 $a,b$ に対し,$a=bc$ なる整数 $c$ が存在するとき,$a$ は $b$ で割り切れる,逆に $b$ は $a$ を割り切るといい, $b\mid a$ で表す.また,$a$ を $b$ の倍数,$b$ を $a$ の約数とよぶ.
  • 整数 $a,b$ および正整数 $m$ に対し,$a-b$ が $m$ で割り切れるとき,$a$ と $b$ は $m$ を法として合同であるといい,$a\equiv b\pmod{m}$ で表す.
  • $n$ 個の整数 $a_1,\ldots,a_n$ に対し,これらをすべて割り切る整数を $a_1,\ldots,a_n$ の公約数とよぶ. 特にそのうち最大のものを $a_1,\ldots,a_n$ の最大公約数とよび,$\gcd(a_1,\ldots,a_n)$ で表す. ただし,$a_1,\ldots,a_n$ がすべて $0$ の場合は,OMCでは考えないものとする.
  • $n$ 個の整数 $a_1,\ldots,a_n$ に対し,$\gcd(a_1,\ldots,a_n)=1$ であるとき,$a_1,\ldots,a_n$ は互いに素であるという.
    $n\geq 3$ であるとき,「どの $2$ つについても互いに素である(pairwise coprime)」とは意味が異なることに注意せよ.
  • $n$ 個の $0$ でない整数 $a_1,\ldots,a_n$ に対し,これらですべて割り切れる整数を $a_1,\ldots,a_n$ の公倍数とよぶ. 特にそのうち正で最小のものを $a_1,\ldots,a_n$ の最小公倍数とよび,$\textrm{lcm}(a_1,\ldots,a_n)$ で表す.

数列の性質

  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が,任意の $n$ に対し $a_n\leq a_{n+1}$ をみたすとき, $\lbrace a_n\rbrace$ は広義単調増加である,または単に単調増加であるという.
  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が,任意の $n$ に対し $a_n\lt a_{n+1}$ をみたすとき, $\lbrace a_n\rbrace$ は狭義単調増加であるという.
  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が,任意の $n$ に対し $a_n\geq a_{n+1}$ をみたすとき, $\lbrace a_n\rbrace$ は広義単調減少である,または単に単調減少であるという.
  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が,任意の $n$ に対し $a_n\gt a_{n+1}$ をみたすとき, $\lbrace a_n\rbrace$ は狭義単調減少であるという.
  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ について,ある実数 $K$ が存在し,任意の $n$ に対して $a_n\leq K$ が成り立つとき,$\lbrace a_n\rbrace$ は上に有界であるという.
  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ について,ある実数 $K$ が存在し,任意の $n$ に対して $a_n\geq K$ が成り立つとき,$\lbrace a_n\rbrace$ は下に有界であるという.

数列の極限

  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ と実数 $\alpha$ が以下をみたすとき,$\lbrace a_n\rbrace$ は $\alpha$ に収束する,または単に収束するという.
    • 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対し,ある正の整数 $N$ が存在して,任意の $N$ 以上の整数 $n$ について $|a_n-\alpha| \lt \varepsilon$ が成立する.
    $\lbrace a_n\rbrace$ に対してこのような $\alpha$ は存在すれば一意であるから,これを $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n = \alpha$ と書き, $\alpha$ を $\lbrace a_n\rbrace$ の極限または極限値とよぶ.
  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ がいかなる値にも収束しないとき,$\lbrace a_n\rbrace$ は発散するという. 発散する数列は,さらに以下の $3$ 種類に大別される.
    • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が以下をみたすとき,$\lbrace a_n\rbrace$ は正の無限大に発散するという.
      • 任意の実数 $K$ に対し,ある正の整数 $N$ が存在して,任意の $N$ 以上の整数 $n$ について $a_n\gt K$ が成立する.
    • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が以下をみたすとき,$\lbrace a_n\rbrace$ は負の無限大に発散するという.
      • 任意の実数 $K$ に対し,ある正の整数 $N$ が存在して,任意の $N$ 以上の整数 $n$ について $a_n\lt K$ が成立する.
    • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が正の無限大にも負の無限大にも発散しないとき,$\lbrace a_n\rbrace$ は振動するという.
  • 実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が(広義)単調増加かつ上に有界であるならば,$\lbrace a_n\rbrace$ は収束する. 同様に,実数列 $\lbrace a_n\rbrace$ が(広義)単調減少かつ下に有界であるならば,$\lbrace a_n\rbrace$ は収束する.

関数の性質

  • 集合 $A$ の各元に対して集合 $B$ の元を対応付ける規則 $f$ を,$A$ から $B$ への関数または写像とよび, $A$ を $f$ の定義域,$B$ を $f$ の終域とよぶ. これを $f\colon A\to B$ で表し,$A$ の元 $a$ に対応する $B$ の元を $f(a)$ で表す.
  • (一部の)実数に対して定義され実数値をとる関数 $f$ に対して,以下のように定める:
    • 任意の実数 $x\lt y$ に対し,$f(x)\leq f(y)$ をみたすとき,$f$ は広義単調増加である,または単に単調増加であるという.
    • 任意の実数 $x\lt y$ に対し,$f(x)\lt f(y)$ をみたすとき,$f$ は狭義単調増加であるという.
    • 任意の実数 $x\lt y$ に対し,$f(x)\geq f(y)$ をみたすとき,$f$ は広義単調減少である,または単に単調減少であるという.
    • 任意の実数 $x\lt y$ に対し,$f(x)\gt f(y)$ をみたすとき,$f$ は狭義単調減少であるという.

実関数の極限

  • (一部の)実数に対して定義され実数値をとる関数 $f(x)$ と実数 $c,\alpha$ が以下をみたすとき,$f(x)$ は $x=c$ で $\alpha$ に収束するという.
    • 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対し,ある正の実数 $\delta$ が存在して,$0\lt|x-c|\lt\delta$ なる任意の実数 $x$ に対し $|f(x)-\alpha| \lt \varepsilon$ が成立する.
    $f(x)$ および $c$ に対してこのような $\alpha$ は存在すれば一意であるから,これを $\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}f(x) = \alpha$ と書く.
  • (一部の)実数に対して定義され実数値をとる関数 $f(x)$ と実数 $\alpha$ が以下をみたすとする.
    • 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対し,ある実数 $X$ が存在して,$x\gt X$ なる任意の実数 $x$ に対し $|f(x)-\alpha| \lt \varepsilon$ が成立する.
    $f(x)$ に対してこのような $\alpha$ は存在すれば一意であるから,これを $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = \alpha$ と書く.
  • (一部の)実数に対して定義され実数値をとる関数 $f(x)$ と実数 $\alpha$ が以下をみたすとする.
    • 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対し,ある実数 $X$ が存在して,$x\lt X$ なる任意の実数 $x$ に対し $|f(x)-\alpha| \lt \varepsilon$ が成立する.
    $f(x)$ に対してこのような $\alpha$ は存在すれば一意であるから,これを $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) = \alpha$ と書く.
  • 上記のそれぞれの設定について,いかなる $\alpha$ にも収束しないとき,発散するという.

多項式

  • 単項式も多項式であるものとする.
  • $x$ の多項式 $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0~(a_n\neq 0)$ について,以下のように定める:
    • $n$ を $P(x)$ の次数とよぶ.なお,$P(x)=0$ のとき次数は考えないものとする($-\infty$ とされることもある).
    • $a_0$ を $P(x)$ の定数項とよぶ.
    • $a_n$ を $P(x)$ の最高次(の)係数とよぶ.特に $a_n=1$ であるとき,$P(x)$ はモニックであるという.
    • $P(\alpha)=0$ をみたす値 $\alpha$ を $P(x)$ のとよぶ.
  • 複素数 $\alpha$ について,$\alpha$ を根にもつ有理数係数多項式が存在するとき,そのうち次数が最小であり,かつモニックであるものを, $\alpha$ の最小多項式とよぶ.$\alpha$ の最小多項式は,存在すれば一意である.

複素数

  • 特に断りが無ければ,虚数単位は $i$ で表すものとする.
  • 複素数 $z=a+bi$ に対し($a,b$ は実数),以下のように定める:
    • $a$ を $z$ の実部とよび,$\mathrm{Re}~z$ または $\Re z$ で表す.また,$b$ を $z$ の虚部とよび,$\mathrm{Im}~z$ または $\Im z$ で表す.
    • $\sqrt{a^2+b^2}$ を $z$ の絶対値とよび,$|z|$ で表す.
    • $z\neq0$ のとき,複素数平面上において原点を $O$,$z$ に対応する点を $P$ として, 実軸の正方向とベクトル $\overrightarrow{OP}$ のなす角(反時計回りを正とする)を $z$ の偏角とよび,$\arg z$ で表す. 偏角には $2\pi$($360^\circ$)の任意の整数倍の差だけ不定性があるが,OMCでこれを定める必要がある場合は問題文中で明記される. また,$0$ の偏角はOMCでは考えない.
  • 虚部が $0$ でないような複素数を虚数とよぶ.さらに,実部が $0$ であるような虚数を純虚数とよぶ.
    なお,実部が $0$ である複素数を純虚数とする(すなわち,$0$ を純虚数とする)流儀も一般的である.OMCでは,この用語を用いるときにはかならず定義を述べるものとする.