矢上杯2023(E)

点数: 100

Writer: ojamesi1357

【9/24 22:50】問題文を修正しました（登録されている解答の数値は同じです）．

　実数列 $\{F_n\}$ は以下の漸化式をみたすものとします： $$F_1=F_2=1,\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad (n\geq 1).$$ 　いま，正整数 $p \leq q$ に対し，多重集合 $U_{q}$ を $U_q=\{F_1,F_2,\ldots, F_q\}$ で定め，$U_{q}$ を空でない $p$ 個の多重集合に分割する方法（分割後の多重集合の順序は区別しない）であって，以下の条件をみたすものの個数を $f(p,q)$ とおきます：

• 分割後の $p$ 個の多重集合を $S_1, S_2 ,\ldots S_p$ としたとき， $$\sum_{k\in S_1} k = \sum_{k\in S_2} k = \cdots = \sum_{k\in S_p} k.$$

　$2\leq p \leq q \leq 100$ をみたす正整数の組 $(p,q)$ すべてに対し $f(p,q)$ を求め，それらの総和を解答してください．