矢上杯2023(K)

点数: 100

Writer: HighSpeed

　任意の鋭角三角形 $XYZ$ に対して，辺 $XY$ 上（端点を除く）の点 $W$ であって，それぞれ半直線 $ZX,\, ZY$ 上（$Z$ を除く）の任意の点 $X^\prime,\, Y^\prime$ に対して $$X^\prime,\, W,\, Y^\prime\ \text{は同一直線上} \implies X^\prime\, Y^\prime \ge XY$$ となるようなものがただ一つ存在します．そのような $W$ を，三角形 $XYZ$ における辺 $XY$ に関する良い点と呼ぶことにします．

　周長が $3939$ の鋭角三角形 $ABC$ において，辺 $AB,\, AC$ に関する良い点をそれぞれ $D,\, E$ とします．このとき，それぞれ線分 $AB,\, CD$ を直径とする $2$ 円が相異なる $2$ 点 $P,\, Q$ で，それぞれ線分 $AC,\, BE$ を直径とする $2$ 円が相異なる $2$ 点 $R,\, S$ で交わり，$P,\, Q,\, R,\, S$ は同一円周上にあったので，それらを通る円の中心を $T$ とします．
　点 $T$ と辺 $AB,\, BC,\, CA$ それぞれの距離の和が $\rule[-10pt]{0pt}{16pt}\dfrac{1858 \times 1202}{2001}$ であって，かつ $TA + TB + TC = 2468$ であるとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a,\, b$ を用いて $\rule{0pt}{14pt}\dfrac ab$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．