矢上杯2023(K) - P, Q, R, S が同一円周上にあることの証明

　問題文にある「$P, Q, R, S$ は同一円周上にあるので」の証明をします．

三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，$AH, BH, CH$ と対辺の交点を $A_1, B_1, C_1$ とする．いま，$AB$ を直径とする円は $A_1, B_1$ を通り，$CD$ を直径とする円は $C_1$ を通り，$BC$ を直径とする円は $B_1, C_1$ を通るので，この $3$ 円の根心を考え，$PQ, AA_1, BB_1$ は共点 (交点は $H$ である)．また，$AC$ を直径とする円は $A_1, C_1$ を通り，$BE$ を直径とする円は $B_1$ を通るので，この $2$ 円と $BC$ を直径とする円の根心を考え，$RS, AA_1, CC_1$ は共点 (交点は $H$ である)．よって，$$HP×HQ=HA×HA_1=HR×HS$$ より，方べきの定理の逆から $P, Q, R, S$ は共円．