矢上杯2023(K)

　良い点の一意存在は以下のようにシムソン線から示される．

　三角形 $XYZ$ の外接円を $\Omega$ とし，辺 $XY$ 上に点 $P$ を取る．$\Omega$ の劣弧 $XY$ 上に点 $Q$ を $PQ\perp XY$ を満たすように取る．点 $Q$ から $ZX, ZY$ に下ろした垂線の足を順に $R, S$ とすればシムソン線から $R, P, S$ は同一直線上であり，角度評価から三角形 $QXY$ と三角形 $QRS$ の相似が分かる．相似比から $RS:XY=QR:QX$ であり $\angle QRZ=90\degree$ から $QR\leq QX$ すなわち $RS\leq XY$ が言える．
　したがって $XY$ の最小性が満たされるのは直線 $XY$ がシムソン線となるときのみであり，これは $W$ を通り $XY$ に垂直な直線と劣弧 $XY$ の交点 $V$ が $VX\perp ZX, VY\perp ZY$ を満たすとき，すなわち $ZV$ が $\Omega$ の直径となるときであり，直線 $ZW$ が $Z$ から $XY$ への垂線の等長共役点であるときだけであることが示される．