TMO2022(L)

　四角形 $ABDC$ は調和四角形であるから，$\triangle{ABM}\sim \triangle{ADC}$ が従う．これより $DC=\dfrac{BM\times AC}{AM}$ である．$OD=OC$ より，直線 $EO$ は $\angle{DEC}$ の外角の二等分線であるから，これは線分 $AD$ の垂直二等分線でもある．直線 $EO$ と直線 $AD$ の交点を $T$ とし，有向角を $\measuredangle$ で表すと， $$\measuredangle{TKB} =\measuredangle{ECB} =\measuredangle{ACB} =\measuredangle{ADB} =\measuredangle{TDB}$$ より $T, K, B, D$ は同一円周上にある．したがって $\angle{KBD}=90^\circ$ が成立する．いま, $$AK=KD, \quad AO=OC, \quad \angle{KBD}=\angle{OMC}$$ より，$\triangle{ABD}$ と $\triangle{AMC}$ をうつす相似変換において $K$ と $O$ が対応する．したがって $\triangle{AKO}\sim \triangle{ABM}$ であり，これより $AK=\dfrac{AB\times AO}{AM}$ が成り立つ．
　いま ${AK}:{DC}={DK}:{DC}=8:5$ より，長さを整理すると $${AB}\times{AO}:{BM}\times{AC}=8:5$$ がわかる．一般に三角形 $ABC$ の面積は $\dfrac{BC\times CA\times AB}{4\times AO}$ と表されるから，求める値は $245+16=\textbf{261}$ である．