TMO2022(J)

　実数 $\alpha$ に対して与式をみたす関数 $f$ を求める．
$P(x,y)$ で与式への代入を表す．$f$ は全射であるため，任意の実数 $s,t$ に対して $f(s^{\prime})=s, f(t^{\prime})=t$ なる実数 $s^{\prime},t^{\prime}$ が存在する．

• $\alpha \neq 0$ のとき $$g(x)=(\alpha +2)f\Bigl(\dfrac{x}{\alpha}\Bigr)-\dfrac{4x}{\alpha}+2022$$ とおくと， $$P\Bigl(\dfrac{u}{\alpha},s^{\prime}-\dfrac{u}{\alpha}\Bigr), P\Bigl(\dfrac{u}{\alpha},t^{\prime}-\dfrac{u}{\alpha}\Bigr), P\Bigl(\dfrac{v}{\alpha},s^{\prime}-\dfrac{v}{\alpha}\Bigr), P\Bigl(\dfrac{v}{\alpha},t^{\prime}-\dfrac{v}{\alpha}\Bigr)$$ より $$f(s+u)=g(u)+4s^{\prime}\\ f(t+u)=g(u)+4t^{\prime}\\ f(s+v)=g(v)+4s^{\prime}\\ f(t+v)=g(v)+4t^{\prime}$$ よって， $$f(s+u)+f(t+v)=f(s+v)+f(t+u)$$ が成立し，$x+y=z+w$ ならば $f(x)+f(y)=f(z)+f(w)$ である．特に $$f(x+y)=f(x)+f(y)-f(0)$$ である． また，$P(0,y)$ より $$f\bigl(f(y)\bigr)=(\alpha+2)f(0)+2022+4y$$ が成り立つため，これらを用いて与式を変形すると $$(\alpha+1)f(0)+4x+f(\alpha x)=(\alpha+2)f(x)$$ がわかる． よって， $$f\bigl(\alpha f(x)\bigr)=(\alpha+2)f\bigl(f(x)\bigr)-4f(x)-(\alpha+1)f(0)$$ 従って $$\begin{aligned} f\bigl(\alpha f(x)\bigr)-f\bigl(\alpha f(0)\bigr)&=(\alpha+2)\Bigl(f\bigl(f(x)\bigr)-f\bigl(f(0)\bigr)\Bigr)-4f(x)+4f(0)\\ &=4(\alpha+2)x-4f(x)+4f(0) \end{aligned}$$ また， $$\begin{aligned} f\bigl(\alpha f(x)\bigr)&=f\bigl((\alpha+1)f(0)+4x+f(\alpha x)-2f(x)\bigr)\\ &=f\bigl(\alpha f(0)\bigr)+4f(x)+f\bigl(f(0)\bigr)+f\bigl(f(\alpha x)\bigr)-2f\bigl(f(x)\bigr)-4f(0)\\ &=f\bigl(\alpha f(0)\bigr)+4f(x)+4(\alpha x-2x)-4f(0)\\ &=f\bigl(\alpha f(0)\bigr)-4f(0)+4f(x)+4(\alpha-2) x \end{aligned}$$ ゆえに，$f(x)=2x+f(0)$ である． なお，今回出題されているのは $\alpha$ が正整数のときのみについてであるため，Cauchyの関数方程式の要領で $$f(\alpha x)=\alpha f(x)-(\alpha-1)f(0)$$ がわかり，これを用いるとより簡単に $f(x)=2x+f(0)$ がわかる． よって，$f\bigl(f(x)\bigr)=4x+3f(0)$ より，$f(0)=\dfrac{2022}{\alpha-1}$ である．(ただし，$\alpha=1$ のときは矛盾．) また，$f(x)=2x+\dfrac{2022}{\alpha-1}$ は与式をみたす．

• $\alpha=0$ のとき
  $P(x,0)$ と $P(0,x)$ を比較して $f(x)=2x+f(0)$ を得る．上と同様に $f(0)=-2022$ で，$f(x)=2x-2022$ は与式をみたす．

　以上より，$\alpha=1$ のときは解は存在せず，$\alpha\neq1$ のときは $f(x)=2x+\dfrac{2022}{\alpha-1}$ のみが解である．