TMO2022(J)

　$P(x, y)$ で与式への代入を表す．$P(0,x)$ より $s=(\alpha+2)f(0)+2022$ とすれば $$f(f(x))=4x+s\tag{1}$$ が成立．これと $P(0,f(x))$ より $$f(4x+s)=4f(x)+s\tag{2}$$ を得る．また $P(s/\alpha,x-s/\alpha)$ より $$f\left(f(x)+s\right)=(\alpha+2)f\left(\frac{s}{\alpha}\right)+4\left(x-\frac{s}{\alpha}\right)+2022$$ であり，$(2)$ を用いて変形すると $$f\left(\frac{1}{4}f(x)\right)=x-\frac{s}{\alpha}+\frac{1}{4}\left((\alpha+2)f\left(\frac{s}{\alpha}\right)+2022\right)$$ とできる．$t=\frac{1}{4}\left((\alpha+2)f\left(\frac{s}{\alpha}\right)+2022\right)-\frac{s}{\alpha}$ として両辺を $f$ で送ると $$f(x)+s=f(x+t)\tag{3}$$ が得られる．この両辺をさらに $f$ で送り，$(1)$ より $f$ が全射であることを用いれば $$f(x+s)=f(x)+4t\tag{4}$$ が得られる．$\alpha$ は正整数であることに注意すると，$(3),(4)$ を用いて $P(0,0)$ と $P(t,0)$ を比較することで $s=2t$ を得る．このとき $(2),(4)$ で $x=0$ とすれば $s=3f(0)$ が得られ，$s$ の定義とあわせれば $\alpha\neq 1$，$f(0)=\dfrac{2022}{1-\alpha}$ を得る．よって条件をみたす $f$ が存在するためには $\alpha-1$ が $2022$ の約数でなければならない．逆に $\alpha-1$ が $2022$ の約数であるとき $$f(x)=2x+\frac{2022}{1-\alpha}$$ は条件をみたす．従って $2022=2\times 3\times 337$ より求める値は $$(1+2)(1+3)(1+337)+(1+1)(1+1)(1+1)=\bm{4064}.$$