TMO2022(I)

　辺 $BC$ の中点を $M$ とする．点 $B, C$ から辺 $CA, AB$ に下ろした垂線の足を $E, F$ とし，直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とする．点 $X^{\prime}$ を線分 $DM$ の中点とする．点 $N$ を中心として点 $A$ を通る円を $\gamma$ とする．点 $D$ は $\gamma$ の点 $M$ に関する極線上にあるから，線分 $DM$ を直径とする円は $\gamma$ と直交する．このとき，これらの二円の交点のうち一つを $T$ とすると， $${X^{\prime}N}^2 ={X^{\prime}T}^2+{TN}^2 ={X^{\prime}M}^2+{OM}^2 ={X^{\prime}O}^2$$ より $X^{\prime}N=X^{\prime}O$ が成立する．したがって $X^{\prime}=X$ である．長さを計算すると, $$CE:EA=3:5, \quad AF:FB=5:4$$ となり，これとMenelausの定理より $BD:DC=4:3$ となる．点 $X$ が線分 $DM$ の中点であることから $BX=\frac{9}{4}\sqrt{7}$ と求まるので，解答すべき値は $567+16=\textbf{583}$ である．